Номер 1.23, страница 21, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1.23. Для всех параметров a найдите множество значений функции:

1) $y = ax^2 - 7x;$

2) $y = 4x - ax^2;$

3) $y = |x + 15| + ax;$

4) $y = |x - 21| + ax.$

1) Данная функция $y = ax^2 - 7x$ является квадратичной, если $a \ne 0$, и линейной, если $a = 0$. Рассмотрим эти случаи.

1. Если $a = 0$, функция принимает вид $y = -7x$. Это линейная функция, её график — прямая линия, не параллельная оси абсцисс. Множество значений такой функции — все действительные числа. $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Если $a > 0$, график функции — парабола, ветви которой направлены вверх. Функция имеет наименьшее значение в вершине параболы. Абсцисса вершины $x_v = \frac{-(-7)}{2a} = \frac{7}{2a}$. Ордината вершины $y_v = a\left(\frac{7}{2a}\right)^2 - 7\left(\frac{7}{2a}\right) = a\frac{49}{4a^2} - \frac{49}{2a} = \frac{49}{4a} - \frac{98}{4a} = -\frac{49}{4a}$. Таким образом, множество значений функции — луч $[y_v; +\infty)$, то есть $E(y) = [-\frac{49}{4a}; +\infty)$.

3. Если $a < 0$, график функции — парабола, ветви которой направлены вниз. Функция имеет наибольшее значение в вершине параболы. Координаты вершины те же: $x_v = \frac{7}{2a}$, $y_v = -\frac{49}{4a}$. В этом случае множество значений функции — луч $(-\infty; y_v]$, то есть $E(y) = (-\infty; -\frac{49}{4a}]$.

Ответ: если $a = 0$, то $E(y) = (-\infty; +\infty)$; если $a > 0$, то $E(y) = [-\frac{49}{4a}; +\infty)$; если $a < 0$, то $E(y) = (-\infty; -\frac{49}{4a}]$.

2) Функция $y = 4x - ax^2$ также является квадратичной (при $a \ne 0$) или линейной (при $a = 0$). Перепишем её в виде $y = -ax^2 + 4x$.

1. Если $a = 0$, функция принимает вид $y = 4x$. Это линейная функция, множество её значений — все действительные числа. $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Если $a > 0$, то коэффициент при $x^2$ равен $-a < 0$. График — парабола, ветви которой направлены вниз. Функция имеет наибольшее значение в вершине. Абсцисса вершины $x_v = \frac{-4}{2(-a)} = \frac{2}{a}$. Ордината вершины $y_v = 4\left(\frac{2}{a}\right) - a\left(\frac{2}{a}\right)^2 = \frac{8}{a} - a\frac{4}{a^2} = \frac{8}{a} - \frac{4}{a} = \frac{4}{a}$. Множество значений функции $E(y) = (-\infty; \frac{4}{a}]$.

3. Если $a < 0$, то коэффициент при $x^2$ равен $-a > 0$. График — парабола, ветви которой направлены вверх. Функция имеет наименьшее значение в вершине. Координаты вершины те же: $x_v = \frac{2}{a}$, $y_v = \frac{4}{a}$. Множество значений функции $E(y) = [\frac{4}{a}; +\infty)$.

Ответ: если $a = 0$, то $E(y) = (-\infty; +\infty)$; если $a > 0$, то $E(y) = (-\infty; \frac{4}{a}]$; если $a < 0$, то $E(y) = [\frac{4}{a}; +\infty)$.

3) Функция $y = |x + 15| + ax$ является кусочно-линейной. Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

1. При $x \ge -15$, $|x + 15| = x + 15$, и функция принимает вид $y = x + 15 + ax = (a+1)x + 15$.

2. При $x < -15$, $|x + 15| = -(x + 15) = -x - 15$, и функция принимает вид $y = -x - 15 + ax = (a-1)x - 15$.

График функции состоит из двух лучей, выходящих из одной точки (вершины), абсцисса которой $x_v = -15$. Ордината вершины $y_v = |(-15) + 15| + a(-15) = -15a$.

Множество значений функции зависит от угловых коэффициентов лучей: $k_1 = a-1$ для $x < -15$ и $k_2 = a+1$ для $x \ge -15$.

- Если $|a| > 1$, то оба коэффициента $k_1$ и $k_2$ имеют одинаковый знак (оба положительны при $a > 1$, оба отрицательны при $a < -1$). В этом случае функция является строго монотонной. Следовательно, её множество значений — все действительные числа, $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

- Если $|a| \le 1$ (то есть $-1 \le a \le 1$), то $k_1 = a-1 \le 0$ и $k_2 = a+1 \ge 0$. Это означает, что до вершины функция не возрастает, а после — не убывает. Следовательно, в вершине достигается наименьшее значение функции, равное $y_{min} = -15a$. Множество значений в этом случае $E(y) = [-15a; +\infty)$.

Ответ: если $|a| \le 1$, то $E(y) = [-15a; +\infty)$; если $|a| > 1$, то $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

4) Функция $y = |x - 21| + ax$ решается аналогично предыдущей. Это кусочно-линейная функция.

1. При $x \ge 21$, $|x - 21| = x - 21$, и функция принимает вид $y = x - 21 + ax = (a+1)x - 21$.

2. При $x < 21$, $|x - 21| = -(x - 21) = -x + 21$, и функция принимает вид $y = -x + 21 + ax = (a-1)x + 21$.

График состоит из двух лучей с угловыми коэффициентами $k_1 = a-1$ и $k_2 = a+1$. Вершина графика находится в точке $x_v = 21$. Ордината вершины $y_v = |21 - 21| + a(21) = 21a$.

Анализ множества значений полностью аналогичен пункту 3.

- Если $|a| > 1$, то $k_1$ и $k_2$ одного знака. Функция является строго монотонной, и её множество значений — все действительные числа, $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

- Если $|a| \le 1$, то $k_1 \le 0$ и $k_2 \ge 0$. Вершина является точкой минимума. Наименьшее значение функции равно $y_{min} = 21a$. Множество значений $E(y) = [21a; +\infty)$.

Ответ: если $|a| \le 1$, то $E(y) = [21a; +\infty)$; если $|a| > 1$, то $E(y) = (-\infty; +\infty)$.