Номер 1.21, страница 21, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1.21. Найдите множество значений функции:

1) $y = x^2 - 9|x| + x + 7;$

2) $y = x^2 + 11x - |x| + 16.$

1) Для нахождения множества значений функции $y = x^2 - 9|x| + x + 7$ необходимо рассмотреть два случая, в зависимости от знака $x$.

Случай 1: $x \ge 0$

При $x \ge 0$ модуль $|x| = x$, и функция принимает вид:

$y = x^2 - 9x + x + 7 = x^2 - 8x + 7$.

Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Наименьшее значение параболы достигается в ее вершине. Найдем координаты вершины. Абсцисса вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2 \cdot 1} = 4$.

Поскольку $x_v = 4$ удовлетворяет условию $x \ge 0$, то наименьшее значение функции на этом промежутке достигается в точке $x = 4$:

$y_{min} = y(4) = 4^2 - 8(4) + 7 = 16 - 32 + 7 = -9$.

Таким образом, при $x \ge 0$ множество значений функции есть $[-9, +\infty)$.

Случай 2: $x < 0$

При $x < 0$ модуль $|x| = -x$, и функция принимает вид:

$y = x^2 - 9(-x) + x + 7 = x^2 + 10x + 7$.

Это также парабола с ветвями вверх. Абсцисса ее вершины: $x_v = -\frac{10}{2 \cdot 1} = -5$.

Поскольку $x_v = -5$ удовлетворяет условию $x < 0$, наименьшее значение функции на этом промежутке достигается в точке $x = -5$:

$y_{min} = y(-5) = (-5)^2 + 10(-5) + 7 = 25 - 50 + 7 = -18$.

Таким образом, при $x < 0$ множество значений функции есть $[-18, +\infty)$.

Общее множество значений функции $E(y)$ является объединением множеств значений, полученных в обоих случаях: $E(y) = [-9, +\infty) \cup [-18, +\infty) = [-18, +\infty)$.

Ответ: $[-18; +\infty)$.

2) Для нахождения множества значений функции $y = x^2 + 11x - |x| + 16$ также рассмотрим два случая.

Случай 1: $x \ge 0$

При $x \ge 0$ модуль $|x| = x$, и функция принимает вид:

$y = x^2 + 11x - x + 16 = x^2 + 10x + 16$.

Это парабола с ветвями вверх. Абсцисса ее вершины: $x_v = -\frac{10}{2 \cdot 1} = -5$.

Так как $x_v = -5$ не принадлежит промежутку $[0, +\infty)$, а на этом промежутке (который расположен правее вершины) квадратичная функция $y = x^2 + 10x + 16$ является возрастающей, то ее наименьшее значение достигается на левой границе промежутка, то есть при $x = 0$.

$y_{min} = y(0) = 0^2 + 10(0) + 16 = 16$.

Следовательно, при $x \ge 0$ множество значений функции есть $[16, +\infty)$.

Случай 2: $x < 0$

При $x < 0$ модуль $|x| = -x$, и функция принимает вид:

$y = x^2 + 11x - (-x) + 16 = x^2 + 12x + 16$.

Это парабола с ветвями вверх. Абсцисса ее вершины: $x_v = -\frac{12}{2 \cdot 1} = -6$.

Поскольку $x_v = -6$ удовлетворяет условию $x < 0$, наименьшее значение функции на этом промежутке достигается в вершине:

$y_{min} = y(-6) = (-6)^2 + 12(-6) + 16 = 36 - 72 + 16 = -20$.

Таким образом, при $x < 0$ множество значений функции есть $[-20, +\infty)$.

Общее множество значений функции является объединением множеств значений из обоих случаев: $E(y) = [16, +\infty) \cup [-20, +\infty) = [-20, +\infty)$.

Ответ: $[-20; +\infty)$.