Номер 1.26, страница 22, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1.26. Докажите тождество:

$(\frac{3b}{a^2 - ab} + \frac{4a}{b^2 - ab}) \cdot (\frac{ab}{\sqrt{3b} - 2a} + \frac{b^2}{2a - \sqrt{3b}}) : \frac{\sqrt{3b} + 2a}{a} = 1.$

Для доказательства тождества необходимо упростить левую часть выражения. Выполним преобразования по действиям.

1. Сначала упростим выражение в первой скобке: $ \frac{3b}{a^2 - ab} + \frac{4a}{b^2 - ab} $.

Разложим знаменатели на множители: $ a^2 - ab = a(a - b) $ и $ b^2 - ab = b(b - a) = -b(a - b) $.

Подставим разложенные знаменатели обратно в выражение:

$ \frac{3b}{a(a - b)} + \frac{4a}{-b(a - b)} = \frac{3b}{a(a - b)} - \frac{4a}{b(a - b)} $

Приведем дроби к общему знаменателю $ ab(a - b) $:

$ \frac{3b \cdot b}{ab(a - b)} - \frac{4a \cdot a}{ab(a - b)} = \frac{3b^2 - 4a^2}{ab(a - b)} $

Числитель $ 3b^2 - 4a^2 $ является разностью квадратов $ (\sqrt{3b})^2 - (2a)^2 $, поэтому его можно разложить на множители по формуле $ x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) $:

$ 3b^2 - 4a^2 = (\sqrt{3b} - 2a)(\sqrt{3b} + 2a) $

В результате выражение в первой скобке равно:

$ \frac{(\sqrt{3b} - 2a)(\sqrt{3b} + 2a)}{ab(a - b)} $

2. Теперь упростим выражение во второй скобке: $ \frac{ab}{\sqrt{3b} - 2a} + \frac{b^2}{2a - \sqrt{3b}} $.

Заметим, что знаменатели являются противоположными выражениями: $ 2a - \sqrt{3b} = -(\sqrt{3b} - 2a) $.

Преобразуем вторую дробь, вынеся минус из знаменателя:

$ \frac{ab}{\sqrt{3b} - 2a} + \frac{b^2}{-(\sqrt{3b} - 2a)} = \frac{ab}{\sqrt{3b} - 2a} - \frac{b^2}{\sqrt{3b} - 2a} $

Теперь можно вычесть дроби:

$ \frac{ab - b^2}{\sqrt{3b} - 2a} $

Вынесем общий множитель $ b $ в числителе:

$ \frac{b(a - b)}{\sqrt{3b} - 2a} $

3. Выполним умножение результатов, полученных после упрощения первой и второй скобок:

$ \frac{(\sqrt{3b} - 2a)(\sqrt{3b} + 2a)}{ab(a - b)} \cdot \frac{b(a - b)}{\sqrt{3b} - 2a} $

Сократим общие множители $ (\sqrt{3b} - 2a) $, $ b $ и $ (a - b) $ в числителях и знаменателях:

$ \frac{\cancel{(\sqrt{3b} - 2a)}(\sqrt{3b} + 2a)}{a\cancel{b}\cancel{(a - b)}} \cdot \frac{\cancel{b}\cancel{(a - b)}}{\cancel{(\sqrt{3b} - 2a)}} = \frac{\sqrt{3b} + 2a}{a} $

4. На последнем шаге выполним деление результата умножения на третье выражение $ \frac{\sqrt{3b} + 2a}{a} $:

$ \frac{\sqrt{3b} + 2a}{a} : \frac{\sqrt{3b} + 2a}{a} $

Деление выражения на само себя дает 1 (при условии, что выражение не равно нулю). Также можно заменить деление умножением на обратную дробь:

$ \frac{\sqrt{3b} + 2a}{a} \cdot \frac{a}{\sqrt{3b} + 2a} = 1 $

Таким образом, мы преобразовали левую часть уравнения и получили 1, что соответствует правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.