Номер 1.24, страница 21, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1.24. Найдите все значения параметра $a$, при которых областью определения функции $y = \sqrt{x-5} + \sqrt{ax+9}$ будет:

1) числовой луч;

2) числовой отрезок;

3) множество всех действительных чисел;

4) единственное число;

5) пустое множество.

Область определения функции $y = \sqrt{x-5} + \sqrt{ax+9}$ задается системой неравенств, так как выражения под корнями должны быть неотрицательными:

$ \begin{cases} x - 5 \ge 0 \\ ax + 9 \ge 0 \end{cases} $

Из первого неравенства следует $x \ge 5$. Это означает, что область определения функции является подмножеством числового луча $[5, +\infty)$.

Проанализируем второе неравенство $ax + 9 \ge 0$ в зависимости от значения параметра $a$.

Случай 1: $a = 0$.

Неравенство принимает вид $0 \cdot x + 9 \ge 0$, то есть $9 \ge 0$. Это верное неравенство для любого $x$. Система сводится к одному условию $x \ge 5$. Областью определения является луч $[5, +\infty)$.

Случай 2: $a > 0$.

Разделим обе части неравенства $ax \ge -9$ на положительное число $a$: $x \ge -9/a$. Система неравенств выглядит так:

$ \begin{cases} x \ge 5 \\ x \ge -9/a \end{cases} $

Поскольку $a > 0$, то $-9/a < 0$, и значит $-9/a < 5$. Пересечением двух лучей $[5, +\infty)$ и $[-9/a, +\infty)$ является луч $[5, +\infty)$.

Случай 3: $a < 0$.

Разделим обе части неравенства $ax \ge -9$ на отрицательное число $a$, изменив знак неравенства на противоположный: $x \le -9/a$. Система неравенств выглядит так:

$ \begin{cases} x \ge 5 \\ x \le -9/a \end{cases} $

Решением этой системы является пересечение множеств $[5, +\infty)$ и $(-\infty, -9/a]$, то есть отрезок $[5, -9/a]$. Дальнейший анализ зависит от соотношения между концами этого отрезка.

Теперь ответим на каждый из пунктов задачи.

1) числовой луч;

Область определения является числовым лучом, как было показано в случаях 1 и 2. Это происходит, когда $a=0$ или $a>0$. Объединяя эти условия, получаем $a \ge 0$.

Ответ: $a \in [0, +\infty)$.

2) числовой отрезок;

Область определения является числовым отрезком, если она имеет вид $[5, -9/a]$ и при этом левый конец строго меньше правого: $5 < -9/a$. Это возможно только в случае 3, то есть при $a < 0$. Умножим неравенство на $a$ (так как $a<0$, знак неравенства меняется на противоположный): $5a > -9$, откуда $a > -9/5$. Совмещая с условием $a<0$, получаем, что $a$ должно принадлежать интервалу $(-9/5, 0)$.

Ответ: $a \in (-9/5, 0)$.

3) множество всех действительных чисел;

Как было установлено из первого неравенства $x \ge 5$, область определения всегда является подмножеством луча $[5, +\infty)$. Следовательно, она никогда не может совпадать с множеством всех действительных чисел.

Ответ: таких значений $a$ не существует.

4) единственное число;

Область определения состоит из одного числа, если отрезок $[5, -9/a]$ "схлопывается" в точку. Это происходит, когда его концы совпадают: $5 = -9/a$. Это уравнение выполняется только в случае 3 ($a<0$). Решая уравнение, находим $5a = -9$, то есть $a = -9/5$.

Ответ: $a = -9/5$.

5) пустое множество.

Область определения является пустым множеством, если система неравенств не имеет решений. Это происходит в случае 3 ($a<0$), когда левый конец отрезка $[5, -9/a]$ оказывается больше правого: $5 > -9/a$. Умножим неравенство на $a$ (так как $a<0$, знак неравенства меняется на противоположный): $5a < -9$, откуда $a < -9/5$.

Ответ: $a \in (-\infty, -9/5)$.