Объясните, страница 23, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

ОБЪЯСНИТЕ

Почему формулы $y^2 + x^2 = 9$ и $|y| = x$ не задают функцию?

y² + x² = 9. По определению, функция – это такое правило, по которому каждому значению независимой переменной $x$ (аргумента) из области определения ставится в соответствие одно и только одно значение зависимой переменной $y$. Чтобы проверить, задает ли формула $y^2 + x^2 = 9$ функцию, попробуем выразить $y$ через $x$. Из уравнения следует, что $y^2 = 9 - x^2$. Отсюда $y = \pm\sqrt{9 - x^2}$. Эта запись показывает, что для одного значения $x$ (кроме $x=\pm3$) мы получаем два разных значения $y$. Например, возьмем значение $x = 0$, которое входит в область определения ($x \in [-3, 3]$). Подставив его в исходное уравнение, получим: $y^2 + 0^2 = 9$, то есть $y^2 = 9$. У этого уравнения два решения: $y = 3$ и $y = -3$. Таким образом, одному значению аргумента $x=0$ соответствуют два разных значения переменной $y$. Это противоречит определению функции. Графиком данного уравнения является окружность с центром в точке $(0,0)$ и радиусом 3. Любая вертикальная прямая $x=a$, где $-3 < a < 3$, пересекает эту окружность в двух точках, что наглядно демонстрирует нарушение функциональной зависимости.

Ответ: Формула $y^2+x^2=9$ не задает функцию, так как для одного значения аргумента $x$ (например, $x=0$) существует два значения $y$ ($y=3$ и $y=-3$).

|y| = x. Используем тот же подход. По определению модуля, равенство $|y| = x$ означает, что $y=x$ или $y=-x$. Это соотношение определено для всех $x \ge 0$. Выберем любое положительное значение $x$ из области определения, например, $x=2$. Тогда уравнение примет вид $|y|=2$. Этому уравнению удовлетворяют два числа: $y=2$ и $y=-2$. Следовательно, одному значению аргумента $x=2$ соответствуют два различных значения переменной $y$. Это нарушает основное требование к функции о единственности значения. Графиком этого соотношения являются два луча, выходящие из начала координат: $y=x$ при $x \ge 0$ и $y=-x$ при $x \ge 0$. Вертикальная прямая, проведенная через любую точку $x>0$, пересечет график в двух местах.

Ответ: Формула $|y|=x$ не задает функцию, так как для любого положительного значения $x$ ему соответствуют два значения $y$ (например, для $x=2$ подходят $y=2$ и $y=-2$).