Номер 1.28, страница 22, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1.28. Найдите наименьшее и наибольшее целые числа, удовлетворяющие неравенству $ \frac{x^2 - 4}{x^2 - 5x + 6} \leq 0 $.

Для решения неравенства $ \frac{x^2 - 4}{x^2 - 5x + 6} \le 0 $ необходимо сначала разложить числитель и знаменатель дроби на множители, а затем решить полученное рациональное неравенство методом интервалов.

1. Разложение на множители и определение области допустимых значений (ОДЗ).

Числитель представляет собой разность квадратов: $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$.

Для разложения знаменателя $x^2 - 5x + 6$ найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Следовательно, корнями являются $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$. Тогда знаменатель можно разложить на множители: $x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель не должен быть равен нулю: $x^2 - 5x + 6 \neq 0$, что равносильно $(x-2)(x-3) \neq 0$. Отсюда следует, что $x \neq 2$ и $x \neq 3$.

2. Упрощение и решение неравенства.

Подставим разложенные на множители выражения в исходное неравенство: $$ \frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x-3)} \le 0 $$ С учетом ОДЗ ($x \neq 2$), мы можем сократить дробь на общий множитель $(x-2)$. Неравенство принимает вид: $$ \frac{x+2}{x-3} \le 0 $$ Это неравенство решается методом интервалов.

3. Метод интервалов.

На числовую ось наносим точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль. Это точки $x = -2$ (корень числителя) и $x = 3$ (корень знаменателя).

Точка $x=-2$ будет "закрашенной" (включенной в решение), так как исходное неравенство нестрогое ($\le$). Точка $x=3$ будет "выколотой" (исключенной из решения), так как она обращает знаменатель в ноль.

Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty, -2]$, $[-2, 3)$ и $(3, +\infty)$. Определим знак выражения $ \frac{x+2}{x-3} $ на каждом из них:

- При $x > 3$ (например, $x=4$): $ \frac{4+2}{4-3} = 6 > 0 $ (знак "+").

- При $-2 < x < 3$ (например, $x=0$): $ \frac{0+2}{0-3} = -\frac{2}{3} < 0 $ (знак "-").

- При $x < -2$ (например, $x=-3$): $ \frac{-3+2}{-3-3} = \frac{-1}{-6} = \frac{1}{6} > 0 $ (знак "+").

Нас интересует область, где выражение меньше или равно нулю ($\le 0$). Это промежуток $x \in [-2, 3)$.

4. Нахождение целых решений.

Теперь необходимо совместить полученное решение $x \in [-2, 3)$ с ОДЗ ($x \neq 2$ и $x \neq 3$). Точка $x=3$ уже исключена из решения. Точка $x=2$ входит в найденный промежуток, поэтому ее необходимо исключить.

Итоговое множество решений неравенства: $x \in [-2, 2) \cup (2, 3)$.

Теперь выпишем все целые числа, которые принадлежат этому множеству:

- Целые числа из промежутка $[-2, 2)$: -2, -1, 0, 1.

- В промежутке $(2, 3)$ целых чисел нет.

Таким образом, множество целых чисел, удовлетворяющих неравенству: $\{-2, -1, 0, 1\}$.

5. Определение наименьшего и наибольшего целого решения.

Из множества целых решений $\{-2, -1, 0, 1\}$ находим:

- Наименьшее целое число: -2.

- Наибольшее целое число: 1.

Ответ: наименьшее целое число -2, наибольшее целое число 1.