Вопросы, страница 25, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. В каких случаях удобно задать функцию табличным способом?

2. Задайте квадратичную функцию аналитически, графически, таблично и словесно.

1. Задать функцию табличным способом удобно в нескольких случаях:

• Когда область определения функции состоит из конечного числа значений. В этом случае таблица полностью описывает функцию. Например, функция, показывающая количество учеников в каждом из классов школы.

• Когда аналитическое выражение (формула) функции неизвестно или слишком сложно для практического применения. Такое часто случается при работе с экспериментальными данными, когда зависимость между величинами устанавливается путем измерений. Например, таблица зависимости температуры кипения воды от атмосферного давления.

• Когда необходимо быстро находить значения функции для определенных аргументов без выполнения вычислений. Классическими примерами являются таблицы логарифмов, тригонометрических функций (синусов, косинусов), которые широко использовались до эпохи калькуляторов.

• Таблица значений часто служит промежуточным этапом при построении графика функции. Составляется таблица для нескольких ключевых точек, которые затем наносятся на координатную плоскость и соединяются плавной линией.

Ответ: Табличный способ задания функции удобен, когда ее область определения конечна; когда функция представляет собой результат наблюдений или эксперимента и ее формула неизвестна; когда требуется быстрый доступ к значениям функции без вычислений; а также в качестве вспомогательного инструмента для построения графиков.

2. Зададим в качестве примера квадратичную функцию $y = x^2 - 4x + 3$ четырьмя различными способами.

Аналитически

Аналитический способ — это задание функции с помощью математической формулы. Для нашего примера это:

$y = x^2 - 4x + 3$

Графически

Графический способ — это изображение графика функции на координатной плоскости. Графиком квадратичной функции является парабола. Опишем ее ключевые характеристики:

• Направление ветвей: Коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число), следовательно, ветви параболы направлены вверх.

• Вершина параболы: Координаты вершины $(x_в, y_в)$ находим по формулам $x_в = -b / (2a)$ и $y_в = y(x_в)$.

$x_в = -(-4) / (2 \cdot 1) = 4 / 2 = 2$.

$y_в = (2)^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$.

Вершина параболы находится в точке $(2, -1)$.

• Точки пересечения с осями координат:

С осью OY (абсцисс): находим нули функции, решив уравнение $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$. Точки пересечения: $(1, 0)$ и $(3, 0)$.

С осью OX (орднат): подставляем $x=0$ в формулу. $y = 0^2 - 4(0) + 3 = 3$. Точка пересечения: $(0, 3)$.

График представляет собой параболу с вершиной в точке $(2, -1)$, ветвями вверх, пересекающую ось абсцисс в точках 1 и 3, а ось ординат в точке 3.

Таблично

Табличный способ — это представление функции в виде таблицы, где каждой величине аргумента $x$ соответствует определенное значение функции $y$. Составим таблицу значений для нашей функции, выбрав точки симметрично относительно вершины ($x=2$):

x = -1, y = $(-1)^2 - 4(-1) + 3 = 1 + 4 + 3 = 8$

x = 0, y = $(0)^2 - 4(0) + 3 = 3$

x = 1, y = $(1)^2 - 4(1) + 3 = 1 - 4 + 3 = 0$

x = 2, y = $(2)^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$

x = 3, y = $(3)^2 - 4(3) + 3 = 9 - 12 + 3 = 0$

x = 4, y = $(4)^2 - 4(4) + 3 = 16 - 16 + 3 = 3$

x = 5, y = $(5)^2 - 4(5) + 3 = 25 - 20 + 3 = 8$

Словесно

Словесный способ — это описание правила, по которому вычисляется значение функции, словами. Для нашей функции описание может быть таким: "Значение функции $y$ равно квадрату аргумента $x$ минус четыре аргумента $x$ плюс три".

Ответ: Пример квадратичной функции $y = x^2 - 4x + 3$ можно задать:

1) Аналитически: с помощью формулы $y = x^2 - 4x + 3$.

2) Графически: в виде параболы с вершиной в точке $(2, -1)$ и ветвями, направленными вверх.

3) Таблично: в виде набора пар значений $(x, y)$, например, $(0, 3), (1, 0), (2, -1), (3, 0), (4, 3)$.

4) Словесно: как правило "значение функции равно квадрату аргумента, уменьшенному на учетверенный аргумент и увеличенному на три".