Номер 2.6, страница 27, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

2.6. Функция $y = f(x)$ определена на числовом отрезке $[a; b]$ и задана таблицей. Используя данные из таблиц 4–7, напишите формулу функции. Постройте ее график.

Таблица 4

1) x: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6

y: -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4

Таблица 5

2) x: -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4

y: -1, -0,5, 0, 0,5, 1, 1,5, 2

Таблица 6

3) x: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2

y: 9, 2, -3, -6, -7, -6, -3

Таблица 7

4) x: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3

y: 10, 5, 2, 1, 2, 5, 10

1) Проанализируем данные из таблицы 4. Заметим, что при увеличении значения $x$ на 1, значение $y$ также увеличивается на 1. Это указывает на линейную зависимость вида $y = kx + b$.

Найдем угловой коэффициент (скорость изменения функции) $k$, используя две любые точки, например, (0, -2) и (1, -1):

$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-1 - (-2)}{1 - 0} = \frac{1}{1} = 1$.

Теперь формула имеет вид $y = 1 \cdot x + b$ или $y = x + b$.

Чтобы найти коэффициент $b$ (смещение по оси y), подставим в формулу любую точку из таблицы, например, (0, -2):

$-2 = 0 + b$, откуда $b = -2$.

Таким образом, формула функции: $y = x - 2$. Проверим ее для другой точки, например, (4, 2): $2 = 4 - 2$, что является верным равенством.

Графиком данной функции на отрезке $[0; 6]$ является отрезок прямой линии, проходящий через точки (0, -2) и (6, 4).

Ответ: формула функции $y = x - 2$. Графиком является отрезок прямой.

2) Рассмотрим данные из таблицы 5. Заметим, что при увеличении значения $x$ на 1, значение $y$ увеличивается на 0,5. Это также указывает на линейную зависимость $y = kx + b$.

Найдем угловой коэффициент $k$, используя точки (-2, -1) и (-1, -0,5):

$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-0,5 - (-1)}{-1 - (-2)} = \frac{0,5}{1} = 0,5$.

Формула принимает вид $y = 0,5x + b$.

Для нахождения $b$ используем точку (0, 0) из таблицы:

$0 = 0,5 \cdot 0 + b$, откуда $b = 0$.

Следовательно, формула функции: $y = 0,5x$ или $y = \frac{1}{2}x$. Проверим ее для точки (4, 2): $2 = 0,5 \cdot 4$, что верно.

Графиком данной функции на отрезке $[-2; 4]$ является отрезок прямой, проходящий через начало координат (0, 0) и, например, точку (4, 2).

Ответ: формула функции $y = 0,5x$. Графиком является отрезок прямой.

3) Проанализируем данные из таблицы 6. Изменение $y$ при изменении $x$ на 1 не является постоянным, следовательно, функция нелинейная. Проверим, не является ли она квадратичной ($y = ax^2 + bx + c$). Для этого вычислим первые и вторые разности для $y$.

Первые разности: $2-9=-7$; $-3-2=-5$; $-6-(-3)=-3$; $-7-(-6)=-1$; $-6-(-7)=1$; $-3-(-6)=3$.

Вторые разности: $-5-(-7)=2$; $-3-(-5)=2$; $-1-(-3)=2$; $1-(-1)=2$; $3-1=2$.

Поскольку вторые разности постоянны и равны 2, функция является квадратичной. Коэффициент $a$ можно найти по формуле $a = \frac{\text{вторая разность}}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

Формула имеет вид $y = x^2 + bx + c$.

Из таблицы видно, что при $x=0, y=-7$. Это значение соответствует коэффициенту $c$. Таким образом, $c = -7$.

Теперь формула выглядит так: $y = x^2 + bx - 7$. Чтобы найти $b$, подставим любую другую точку, например, (1, -6):

$-6 = 1^2 + b \cdot 1 - 7$

$-6 = 1 + b - 7$

$-6 = b - 6$, откуда $b=0$.

Итоговая формула функции: $y = x^2 - 7$. Проверим для точки (-4, 9): $9 = (-4)^2 - 7 = 16 - 7$, что верно.

Графиком данной функции на отрезке $[-4; 2]$ является часть параболы, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке (0, -7).

Ответ: формула функции $y = x^2 - 7$. Графиком является часть параболы.

4) Рассмотрим данные из таблицы 7. Как и в предыдущем пункте, проверим, является ли функция квадратичной, вычислив разности.

Первые разности: $5-10=-5$; $2-5=-3$; $1-2=-1$; $2-1=1$; $5-2=3$; $10-5=5$.

Вторые разности: $-3-(-5)=2$; $-1-(-3)=2$; $1-(-1)=2$; $3-1=2$; $5-3=2$.

Вторые разности снова постоянны и равны 2, значит, это квадратичная функция $y = ax^2 + bx + c$ с коэффициентом $a = \frac{2}{2} = 1$.

Формула имеет вид $y = x^2 + bx + c$.

Из таблицы при $x=0, y=1$, следовательно, $c = 1$.

Формула принимает вид $y = x^2 + bx + 1$. Для нахождения $b$ подставим точку (1, 2):

$2 = 1^2 + b \cdot 1 + 1$

$2 = 1 + b + 1$

$2 = b + 2$, откуда $b=0$.

Итоговая формула функции: $y = x^2 + 1$. Проверим для точки (3, 10): $10 = 3^2 + 1 = 9 + 1$, что верно.

Графиком данной функции на отрезке $[-3; 3]$ является часть параболы, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке (0, 1).

Ответ: формула функции $y = x^2 + 1$. Графиком является часть параболы.