Номер 2.8, страница 28, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

2.8. Пусть $f(x) = -x^2 + x + 2$. Задайте аналитически функцию: $y = f(x+2)$, $y = f(x) - 3$, $y = 5 - f(x)$. Для каждой функции найдите:

1) множество значений;

2) точку пересечения с осью ординат;

3) нули.

Исходная функция: $f(x) = -x^2 + x + 2$. Это парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем координаты ее вершины, чтобы определить множество значений.

Абсцисса вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2(-1)} = \frac{1}{2}$.

Ордината вершины: $y_v = f(\frac{1}{2}) = -(\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2} + 2 = -\frac{1}{4} + \frac{2}{4} + \frac{8}{4} = \frac{9}{4}$.

Максимальное значение функции $f(x)$ равно $\frac{9}{4}$, а ее множество значений $E(f) = (-\infty; \frac{9}{4}]$.

Для функции $y = f(x+2)$

Сначала зададим функцию аналитически, подставив $(x+2)$ вместо $x$ в исходную функцию:

$y = -(x+2)^2 + (x+2) + 2 = -(x^2 + 4x + 4) + x + 2 + 2 = -x^2 - 4x - 4 + x + 4 = -x^2 - 3x$.

1) множество значений;

График этой функции получается сдвигом графика $f(x)$ на 2 единицы влево. Такой сдвиг не меняет множество значений. Таким образом, множество значений новой функции совпадает с множеством значений $f(x)$.

Проверка: Это парабола $y = -x^2 - 3x$ с ветвями вниз. Найдем ее вершину: $x_v = -\frac{-3}{2(-1)} = -\frac{3}{2}$.$y_v = -(-\frac{3}{2})^2 - 3(-\frac{3}{2}) = -\frac{9}{4} + \frac{9}{2} = \frac{9}{4}$.Множество значений функции: $(-\infty; \frac{9}{4}]$.

Ответ: $E(y) = (-\infty; \frac{9}{4}]$.

2) точку пересечения с осью ординат;

Для нахождения точки пересечения с осью $Oy$ подставим $x=0$ в уравнение функции:$y(0) = -0^2 - 3 \cdot 0 = 0$.Точка пересечения с осью ординат - $(0, 0)$.

Ответ: $(0, 0)$.

3) нули.

Для нахождения нулей функции решим уравнение $y=0$:$-x^2 - 3x = 0$$-x(x+3) = 0$$x_1 = 0$, $x_2 = -3$.

Ответ: $x = -3$, $x = 0$.

Для функции $y = f(x) - 3$

Зададим функцию аналитически:

$y = (-x^2 + x + 2) - 3 = -x^2 + x - 1$.

1) множество значений;

График этой функции получается сдвигом графика $f(x)$ на 3 единицы вниз. Множество значений $f(x)$ было $(-\infty; \frac{9}{4}]$. При сдвиге вниз на 3, новое множество значений будет $(-\infty; \frac{9}{4} - 3]$, то есть $(-\infty; -\frac{3}{4}]$.

Проверка: Это парабола $y = -x^2 + x - 1$ с ветвями вниз. Вершина: $x_v = -\frac{1}{2(-1)} = \frac{1}{2}$.$y_v = -(\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{4} + \frac{2}{4} - \frac{4}{4} = -\frac{3}{4}$.Множество значений функции: $(-\infty; -\frac{3}{4}]$.

Ответ: $E(y) = (-\infty; -\frac{3}{4}]$.

2) точку пересечения с осью ординат;

Подставим $x=0$:$y(0) = -0^2 + 0 - 1 = -1$.Точка пересечения с осью ординат - $(0, -1)$.

Ответ: $(0, -1)$.

3) нули.

Решим уравнение $y=0$:$-x^2 + x - 1 = 0$$x^2 - x + 1 = 0$Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$.Так как $D < 0$, действительных корней нет, следовательно, функция не имеет нулей.

Ответ: нулей нет.

Для функции $y = 5 - f(x)$

Зададим функцию аналитически:

$y = 5 - (-x^2 + x + 2) = 5 + x^2 - x - 2 = x^2 - x + 3$.

1) множество значений;

Преобразование $y = -f(x)$ отражает график $f(x)$ относительно оси $Ox$, а затем $y = -f(x) + 5$ сдвигает его на 5 единиц вверх. Множество значений $f(x)$ было $(-\infty; \frac{9}{4}]$. После отражения множество значений становится $[-\frac{9}{4}; +\infty)$. После сдвига вверх на 5 оно становится $[-\frac{9}{4} + 5; +\infty)$, то есть $[\frac{11}{4}; +\infty)$.

Проверка: Это парабола $y = x^2 - x + 3$ с ветвями вверх. Вершина: $x_v = -\frac{-1}{2(1)} = \frac{1}{2}$.$y_v = (\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} + 3 = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} + \frac{12}{4} = \frac{11}{4}$.Множество значений функции: $[\frac{11}{4}; +\infty)$.

Ответ: $E(y) = [\frac{11}{4}; +\infty)$.

2) точку пересечения с осью ординат;

Подставим $x=0$:$y(0) = 0^2 - 0 + 3 = 3$.Точка пересечения с осью ординат - $(0, 3)$.

Ответ: $(0, 3)$.

3) нули.

Решим уравнение $y=0$:$x^2 - x + 3 = 0$Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 1 - 12 = -11$.Так как $D < 0$, действительных корней нет, следовательно, функция не имеет нулей.

Ответ: нулей нет.