Номер 2.15, страница 30, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

2.15. Постройте график функции:

1) $y = [x + 5];$

2) $y = [x - 7];$

3) $y = 2 + [x + 4];$

4) $y = \{x\} + 1;$

5) $y = 4 - \{x\};$

6) $y = 6 + \{-x\};$

7) $y = [2x] + 1;$

8) $y = \{2x\};$

9) $y = \{0,5x\} + 1.$

1) $y = [x + 5]$

Здесь $[a]$ — функция «целая часть числа» (антье), которая возвращает наибольшее целое число, не превосходящее $a$. График функции $y = [x + 5]$ получается из графика стандартной функции $y = [x]$ путем сдвига на 5 единиц влево вдоль оси абсцисс ($Ox$). Функция является кусочно-постоянной. Чтобы найти, на каких интервалах функция принимает постоянные значения, положим $y=k$, где $k$ — целое число. По определению целой части, $k = [x+5]$ эквивалентно двойному неравенству $k \le x + 5 < k + 1$. Вычитая 5 из всех частей неравенства, получаем $k - 5 \le x < k - 4$. Это означает, что для любого целого $k$, когда $x$ находится в полуинтервале $[k - 5, k - 4)$, значение функции $y$ постоянно и равно $k$. Например:

при $x \in [-5, -4)$, $y = 0$;

при $x \in [-4, -3)$, $y = 1$;

при $x \in [-6, -5)$, $y = -1$.

График представляет собой «лесенку» из горизонтальных отрезков единичной длины.

Ответ: График функции — ступенчатая функция. Для любого целого числа $k$, на полуинтервале $[k-5, k-4)$ график представляет собой горизонтальный отрезок на высоте $y=k$. Левая точка каждого отрезка, например $(k-5, k)$, включается в график (сплошная точка), а правая, $(k-4, k)$, — исключается (выколотая точка).

2) $y = [x - 7]$

График функции $y = [x - 7]$ получается из графика функции $y = [x]$ путем сдвига на 7 единиц вправо вдоль оси абсцисс ($Ox$). Аналогично предыдущему пункту, положим $y=k$, где $k$ — целое число. Из $k = [x-7]$ следует $k \le x - 7 < k + 1$. Прибавляя 7 ко всем частям неравенства, получаем $k + 7 \le x < k + 8$. Таким образом, для любого целого $k$, когда $x$ находится в полуинтервале $[k + 7, k + 8)$, значение функции $y$ постоянно и равно $k$. Например:

при $x \in [7, 8)$, $y = 0$;

при $x \in [8, 9)$, $y = 1$;

при $x \in [6, 7)$, $y = -1$.

Ответ: График функции — ступенчатая функция. Для любого целого числа $k$, на полуинтервале $[k+7, k+8)$ график представляет собой горизонтальный отрезок на высоте $y=k$. Левая точка отрезка $(k+7, k)$ включается, правая точка $(k+8, k)$ — исключается.

3) $y = 2 + [x + 4]$

График этой функции можно получить из графика $y = [x]$ двумя последовательными преобразованиями: сдвигом на 4 единицы влево вдоль оси $Ox$ и сдвигом на 2 единицы вверх вдоль оси ординат ($Oy$). Пусть $[x+4] = k$, где $k$ — целое число. Тогда $y = 2+k$. Условие $[x+4] = k$ эквивалентно неравенству $k \le x + 4 < k + 1$, откуда $k - 4 \le x < k - 3$. Значит, на полуинтервале $[k - 4, k - 3)$ функция принимает постоянное значение $y = k+2$. Например:

при $x \in [-4, -3)$, $k=0$, и $y = 2+0=2$;

при $x \in [-3, -2)$, $k=1$, и $y = 2+1=3$;

при $x \in [-5, -4)$, $k=-1$, и $y = 2-1=1$.

Ответ: График функции — ступенчатая функция. Для любого целого числа $k$, на полуинтервале $[k-4, k-3)$ график представляет собой горизонтальный отрезок на высоте $y=k+2$. Левая точка отрезка $(k-4, k+2)$ включается, правая точка $(k-3, k+2)$ — исключается.

4) $y = \{x\} + 1$

Здесь $\{a\}$ — функция «дробная часть числа», определяемая как $\{a\} = a - [a]$. Область значений функции $\{x\}$ — полуинтервал $[0, 1)$. График функции $y = \{x\} + 1$ получается из графика стандартной функции $y = \{x\}$ сдвигом на 1 единицу вверх вдоль оси $Oy$. Область значений функции $y = \{x\} + 1$ — полуинтервал $[1, 2)$. Для любого целого числа $n$, на полуинтервале $[n, n+1)$ имеем $[x]=n$, поэтому $\{x\} = x-n$. Следовательно, на этом интервале $y = (x-n) + 1$. Это уравнение прямой с угловым коэффициентом 1. Например:

при $x \in [0, 1)$, $y = x+1$;

при $x \in [1, 2)$, $y = (x-1)+1 = x$;

при $x \in [-1, 0)$, $y = (x-(-1))+1 = x+2$.

Ответ: График функции — «пила», состоящая из параллельных отрезков. Для любого целого числа $n$, на полуинтервале $[n, n+1)$ график представляет собой отрезок прямой, соединяющий точку $(n, 1)$ (включается) и точку $(n+1, 2)$ (исключается).

5) $y = 4 - \{x\}$

График этой функции можно получить из графика $y=\{x\}$ путем симметричного отражения относительно оси $Ox$ (получая $y = -\{x\}$) и последующего сдвига на 4 единицы вверх вдоль оси $Oy$. Поскольку $0 \le \{x\} < 1$, то $-1 < -\{x\} \le 0$, и, следовательно, $3 < 4 - \{x\} \le 4$. Область значений функции — полуинтервал $(3, 4]$. Для любого целого $n$, на полуинтервале $[n, n+1)$ имеем $\{x\} = x-n$. Тогда на этом интервале $y = 4 - (x-n) = -x + n + 4$. Это уравнение прямой с угловым коэффициентом -1. Например:

при $x \in [0, 1)$, $y = 4-x$;

при $x \in [1, 2)$, $y = 4-(x-1) = 5-x$.

Ответ: График функции — «пила», состоящая из параллельных отрезков. Для любого целого числа $n$, на полуинтервале $[n, n+1)$ график представляет собой отрезок прямой, соединяющий точку $(n, 4)$ (включается) и точку $(n+1, 3)$ (исключается).

6) $y = 6 + \{-x\}$

График функции $y = \{-x\}$ получается из графика $y = \{x\}$ отражением относительно оси $Oy$. Затем он сдвигается на 6 единиц вверх. Рассмотрим поведение функции. Если $x$ — целое число, $x=n$, то $-x$ также целое, и $\{-n\}=0$, поэтому $y = 6$. Таким образом, все точки вида $(n, 6)$, где $n$ — целое, принадлежат графику. Если $x$ не является целым, то используется свойство $\{-x\} = 1 - \{x\}$. Тогда $y = 6 + 1 - \{x\} = 7 - \{x\}$. Рассмотрим полуинтервал $(n, n+1)$, где $n$ — целое. На нем $y = 7 - (x-n) = -x+n+7$. Проверим граничные значения для интервала $(n, n+1]$: В точке $x = n+1$ (которая является целым числом), $y=6$. При $x \to n$ справа, $y \to -n+n+7 = 7$. Таким образом, график состоит из отрезков, "смотрящих" в противоположную сторону по сравнению с предыдущим пунктом.

Ответ: График функции — «пила», состоящая из параллельных отрезков. Для любого целого числа $n$, на полуинтервале $(n, n+1]$ график представляет собой отрезок прямой, соединяющий точку $(n, 7)$ (исключается) и точку $(n+1, 6)$ (включается).

7) $y = [2x] + 1$

График этой функции получается из графика $y = [x]$ сжатием в 2 раза по горизонтали к оси $Oy$ (преобразование $x \to 2x$) и сдвигом на 1 единицу вверх. Сжатие по горизонтали приводит к тому, что «ступеньки» становятся вдвое короче. Их длина теперь $1/2$. Пусть $[2x]=k$, где $k$ — целое число. Тогда $y=k+1$. Условие $[2x]=k$ эквивалентно $k \le 2x < k+1$, или $k/2 \le x < (k+1)/2$. На полуинтервале $[k/2, (k+1)/2)$ функция постоянна и равна $k+1$. Например:

при $x \in [0, 1/2)$, $k=0$, и $y=0+1=1$;

при $x \in [1/2, 1)$, $k=1$, и $y=1+1=2$;

при $x \in [-1/2, 0)$, $k=-1$, и $y=-1+1=0$.

Ответ: График функции — ступенчатая функция. Для любого целого числа $k$, на полуинтервале $[k/2, (k+1)/2)$ график представляет собой горизонтальный отрезок на высоте $y=k+1$. Длина каждой ступеньки равна $1/2$.

8) $y = \{2x\}$

График функции $y = \{2x\}$ получается из графика $y=\{x\}$ путем сжатия в 2 раза по горизонтали к оси $Oy$. Период функции $y=\{x\}$ равен 1. Период функции $y=\{2x\}$ равен $1/2$. Область значений остается прежней: $[0, 1)$. На полуинтервале $[n/2, (n+1)/2)$ для любого целого $n$, имеем $[2x]=n$. Тогда $y = \{2x\} = 2x - [2x] = 2x - n$. Например:

при $x \in [0, 1/2)$, $n=0$, и $y=2x$;

при $x \in [1/2, 1)$, $n=1$, и $y=2x-1$.

Ответ: График функции — «пила» с периодом $1/2$. Для любого целого числа $n$, на полуинтервале $[n/2, (n+1)/2)$ график представляет собой отрезок прямой с угловым коэффициентом 2, соединяющий точку $(n/2, 0)$ (включается) и точку $((n+1)/2, 1)$ (исключается).

9) $y = \{0.5x\} + 1$

График этой функции получается из графика $y=\{x\}$ растяжением в 2 раза по горизонтали от оси $Oy$ (преобразование $x \to 0.5x$) и сдвигом на 1 единицу вверх. Период функции $y=\{0.5x\}$ равен $1/0.5 = 2$. Область значений функции $y=\{0.5x\}+1$ — это $[1, 2)$. На полуинтервале $[2n, 2(n+1))$ для любого целого $n$, имеем $[0.5x]=n$. Тогда $y = \{0.5x\} + 1 = (0.5x - [0.5x]) + 1 = 0.5x - n + 1$. Например:

при $x \in [0, 2)$, $n=0$, и $y=0.5x+1$;

при $x \in [2, 4)$, $n=1$, и $y=0.5x-1+1 = 0.5x$.

Ответ: График функции — «пила» с периодом 2, сдвинутая на 1 вверх. Для любого целого числа $n$, на полуинтервале $[2n, 2(n+1))$ график представляет собой отрезок прямой с угловым коэффициентом $0.5$, соединяющий точку $(2n, 1)$ (включается) и точку $(2(n+1), 2)$ (исключается).