Номер 2.21, страница 30, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

2.21. Перечислите целые числа, удовлетворяющие неравенству

$\frac{x^3 + x^2 - 30x}{x^3 - x^2 - 42x} \le 0.$

Для решения неравенства $\frac{x^3 + x^2 - 30x}{x^3 - x^2 - 42x} \le 0$ воспользуемся методом интервалов. Решение можно разбить на несколько шагов.

1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю:

$x^3 - x^2 - 42x \neq 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x^2 - x - 42) \neq 0$

Отсюда следует, что $x \neq 0$ и $x^2 - x - 42 \neq 0$. Для нахождения корней квадратного уравнения $x^2 - x - 42 = 0$ воспользуемся теоремой Виета. Корни $x_1$ и $x_2$ должны удовлетворять условиям $x_1 \cdot x_2 = -42$ и $x_1 + x_2 = 1$. Этим условиям удовлетворяют числа $7$ и $-6$.

Таким образом, область допустимых значений: $x \neq -6$, $x \neq 0$, $x \neq 7$.

2. Разложим на множители числитель и знаменатель исходной дроби.

Числитель: $x^3 + x^2 - 30x = x(x^2 + x - 30)$. Корнями уравнения $x^2 + x - 30 = 0$ по теореме Виета являются числа $5$ и $-6$ (так как $5 \cdot (-6) = -30$ и $5 + (-6) = -1$). Следовательно, числитель можно записать в виде $x(x - 5)(x + 6)$.

Знаменатель: $x^3 - x^2 - 42x = x(x^2 - x - 42)$. Как мы уже выяснили, корни для $x^2 - x - 42 = 0$ это $7$ и $-6$. Следовательно, знаменатель равен $x(x - 7)(x + 6)$.

3. Перепишем неравенство в новом виде и упростим его.

$\frac{x(x - 5)(x + 6)}{x(x - 7)(x + 6)} \le 0$

На области допустимых значений ($x \neq 0$ и $x \neq -6$) мы можем сократить общие множители $x$ и $(x + 6)$. Неравенство упрощается до:

$\frac{x - 5}{x - 7} \le 0$

4. Решим полученное простое неравенство методом интервалов.

Найдём точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль. Это $x = 5$ (корень числителя) и $x = 7$ (корень знаменателя). Отметим эти точки на числовой прямой. Точка $x=5$ будет закрашенной, так как неравенство нестрогое ($\le$). Точка $x=7$ будет выколотой, так как она из знаменателя.

Определим знаки выражения $\frac{x-5}{x-7}$ на полученных интервалах:

- на интервале $(7, +\infty)$ выражение положительно (например, при $x=8$, $\frac{3}{1} > 0$);

- на интервале $(5, 7)$ выражение отрицательно (например, при $x=6$, $\frac{1}{-1} < 0$);

- на интервале $(-\infty, 5)$ выражение положительно (например, при $x=4$, $\frac{-1}{-3} > 0$).

Нас интересует, где выражение меньше или равно нулю. Это промежуток $[5, 7)$.

5. Проверим, удовлетворяет ли найденное решение $[5, 7)$ исходной области допустимых значений ($x \neq -6, x \neq 0, x \neq 7$).

Промежуток $[5, 7)$ не содержит точек $-6$ и $0$. Точка $7$ также не входит в этот промежуток. Следовательно, решение исходного неравенства $x \in [5, 7)$.

6. В соответствии с условием задачи, перечислим все целые числа, удовлетворяющие неравенству.

Целые числа $x$, которые удовлетворяют условию $5 \le x < 7$, это $5$ и $6$.

Ответ: 5, 6.