Номер 2.19, страница 30, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

2.19. Моторная лодка проехала по течению реки 24 км пути и против течения реки 32 км пути, затратив на весь путь 6 часов. Найдите скорость моторной лодки, если скорость течения реки равна 2 км/ч.

Пусть $x$ км/ч — собственная скорость моторной лодки. Тогда скорость лодки по течению реки составляет $(x + 2)$ км/ч, а скорость против течения — $(x - 2)$ км/ч. Для того чтобы лодка могла двигаться против течения, ее собственная скорость должна быть больше скорости течения, то есть $x > 2$.

Время, которое лодка затратила на путь по течению, равно $t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{24}{x + 2}$ часов.

Время, затраченное на путь против течения, составляет $t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{32}{x - 2}$ часов.

Общее время, затраченное на весь путь, по условию равно 6 часам. Мы можем составить уравнение, сложив время движения по течению и против течения:$t_1 + t_2 = 6$

$\frac{24}{x + 2} + \frac{32}{x - 2} = 6$

Чтобы решить это уравнение, приведем дроби к общему знаменателю $(x + 2)(x - 2) = x^2 - 4$:

$\frac{24(x - 2) + 32(x + 2)}{(x + 2)(x - 2)} = 6$

Умножим обе части уравнения на знаменатель $(x + 2)(x - 2)$, помня об ограничении $x \neq 2$ и $x \neq -2$:

$24(x - 2) + 32(x + 2) = 6(x^2 - 4)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$24x - 48 + 32x + 64 = 6x^2 - 24$

$56x + 16 = 6x^2 - 24$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$6x^2 - 56x - 24 - 16 = 0$

$6x^2 - 56x - 40 = 0$

Разделим все уравнение на 2 для упрощения:

$3x^2 - 28x - 20 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-28)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-20) = 784 + 240 = 1024$

$\sqrt{D} = \sqrt{1024} = 32$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{28 + 32}{2 \cdot 3} = \frac{60}{6} = 10$

$x_2 = \frac{28 - 32}{2 \cdot 3} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$

Поскольку скорость не может быть отрицательной, корень $x_2 = -2/3$ не является решением задачи. Корень $x_1 = 10$ удовлетворяет физическому смыслу задачи и условию $x > 2$.Следовательно, собственная скорость моторной лодки составляет 10 км/ч.

Сделаем проверку:

Время движения по течению: $\frac{24}{10 + 2} = \frac{24}{12} = 2$ часа.

Время движения против течения: $\frac{32}{10 - 2} = \frac{32}{8} = 4$ часа.

Общее время в пути: $2 + 4 = 6$ часов, что соответствует условию задачи.

Ответ: 10 км/ч.