Задания, страница 33, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Докажите, что график функции $y = f(x + n)$, где $n > 0$, можно получить из графика функции $y = f(x)$ с помощью его смещения (сдвига, параллельного переноса) вдоль оси Ox на $n$ единиц влево (рис. 3.6).

Перемещение (сдвиг, параллельный перенос) влево

Рис. 3.5

Перемещение (сдвиг, параллельный перенос) влево

Рис. 3.6

Для доказательства того, что график функции $y = f(x + n)$ (где $n > 0$) получается из графика функции $y = f(x)$ сдвигом влево на $n$ единиц, рассмотрим произвольную точку $A_0(x_0; y_0)$, которая лежит на графике функции $y = f(x)$.

По определению, если точка принадлежит графику, ее координаты удовлетворяют уравнению функции. Следовательно, для точки $A_0$ выполняется равенство:

$y_0 = f(x_0)$

Теперь найдем, какой должна быть абсцисса $x_1$ точки $A_1(x_1; y_1)$ на графике функции $y = f(x + n)$, чтобы ее ордината была такой же, как у точки $A_0$, то есть $y_1 = y_0$.

Координаты точки $A_1$ должны удовлетворять уравнению $y_1 = f(x_1 + n)$. Подставим в это уравнение $y_1 = y_0$:

$y_0 = f(x_1 + n)$

Мы имеем два равенства: $y_0 = f(x_0)$ и $y_0 = f(x_1 + n)$. Из них следует, что:

$f(x_0) = f(x_1 + n)$

Это равенство будет верным, если аргументы функции $f$ равны, то есть:

$x_0 = x_1 + n$

Выразим из этого равенства $x_1$:

$x_1 = x_0 - n$

Итак, мы установили, что каждой произвольной точке $A_0(x_0; y_0)$ на графике $y = f(x)$ соответствует точка $A_1(x_0 - n; y_0)$ на графике $y = f(x + n)$.

Сравним координаты этих двух точек: $A_0(x_0; y_0)$ и $A_1(x_0 - n; y_0)$. Ординаты (значения по оси $y$) у них одинаковы, а абсцисса точки $A_1$ на $n$ единиц меньше абсциссы точки $A_0$. Геометрически это означает, что точка $A_1$ получена из точки $A_0$ путем параллельного переноса на $n$ единиц влево вдоль оси $Ox$.

Поскольку точка $A_0$ была выбрана произвольно, это рассуждение справедливо для всех точек графика. Следовательно, весь график функции $y = f(x + n)$ получается из графика функции $y = f(x)$ с помощью параллельного переноса (сдвига) на $n$ единиц влево вдоль оси $Ox$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство основано на том, что для любой точки $(x_0, y_0)$ на графике $y = f(x)$, соответствующая точка на графике $y = f(x+n)$ с той же ординатой $y_0$ будет иметь абсциссу $x_1 = x_0 - n$. Это соответствует смещению каждой точки графика на $n$ единиц влево по оси $Ox$.