Номер 2.20, страница 30, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

2.20. Постройте график функции: 1) $y = x^2 - x - 12$; 2) $y = -18 + 11x - x^2$. Используя построенный график, укажите: координаты вершины параболы; промежутки возрастания и убывания, нули, промежутки знакопостоянства функции.

1) Рассмотрим функцию $y = x^2 - x - 12$. Это квадратичная функция, ее график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен $1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Для построения графика найдем его ключевые точки.

Координаты вершины параболы $(x_0; y_0)$ вычисляются по формулам $x_0 = -\frac{b}{2a}$ и $y_0 = y(x_0)$:

$x_0 = -\frac{-1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2} = 0.5$

$y_0 = (0.5)^2 - 0.5 - 12 = 0.25 - 0.5 - 12 = -12.25$

Вершина параболы находится в точке $(0.5; -12.25)$.

Найдем нули функции (точки пересечения с осью $Ox$), решив уравнение $y=0$:

$x^2 - x - 12 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 4$ и $x_2 = -3$. Точки пересечения с осью $Ox$: $(-3; 0)$ и $(4; 0)$.

Найдем точку пересечения с осью $Oy$, подставив $x=0$:

$y = 0^2 - 0 - 12 = -12$. Точка пересечения с осью $Oy$: $(0; -12)$.

Используя эти точки (вершина, нули, точка пересечения с осью $Oy$), строим график параболы.

На основе анализа графика укажем требуемые характеристики:

Координаты вершины параболы: $(0.5; -12.25)$.

Промежутки возрастания и убывания: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0.5]$ и возрастает на промежутке $[0.5; +\infty)$.

Нули: $x = -3$, $x = 4$.

Промежутки знакопостоянства функции: $y>0$ при $x \in (-\infty; -3) \cup (4; +\infty)$; $y<0$ при $x \in (-3; 4)$.

Ответ: Координаты вершины: $(0.5; -12.25)$; промежуток убывания: $(-\infty; 0.5]$, промежуток возрастания: $[0.5; +\infty)$; нули функции: $x = -3$, $x = 4$; промежутки знакопостоянства: $y>0$ при $x \in (-\infty; -3) \cup (4; +\infty)$, $y<0$ при $x \in (-3; 4)$.

2) Рассмотрим функцию $y = -18 + 11x - x^2$. Запишем ее в стандартном виде: $y = -x^2 + 11x - 18$. Это квадратичная функция, ее график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен $-1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Для построения графика найдем его ключевые точки.

Координаты вершины параболы $(x_0; y_0)$:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{11}{2 \cdot (-1)} = \frac{11}{2} = 5.5$

$y_0 = -(5.5)^2 + 11 \cdot 5.5 - 18 = -30.25 + 60.5 - 18 = 12.25$

Вершина параболы находится в точке $(5.5; 12.25)$.

Найдем нули функции (точки пересечения с осью $Ox$), решив уравнение $y=0$:

$-x^2 + 11x - 18 = 0$

$x^2 - 11x + 18 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = 9$. Точки пересечения с осью $Ox$: $(2; 0)$ и $(9; 0)$.

Найдем точку пересечения с осью $Oy$, подставив $x=0$:

$y = -0^2 + 11 \cdot 0 - 18 = -18$. Точка пересечения с осью $Oy$: $(0; -18)$.

Используя эти точки, строим график параболы.

На основе анализа графика укажем требуемые характеристики:

Координаты вершины параболы: $(5.5; 12.25)$.

Промежутки возрастания и убывания: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 5.5]$ и убывает на промежутке $[5.5; +\infty)$.

Нули: $x = 2$, $x = 9$.

Промежутки знакопостоянства функции: $y>0$ при $x \in (2; 9)$; $y<0$ при $x \in (-\infty; 2) \cup (9; +\infty)$.

Ответ: Координаты вершины: $(5.5; 12.25)$; промежуток возрастания: $(-\infty; 5.5]$, промежуток убывания: $[5.5; +\infty)$; нули функции: $x = 2$, $x = 9$; промежутки знакопостоянства: $y>0$ при $x \in (2; 9)$, $y<0$ при $x \in (-\infty; 2) \cup (9; +\infty)$.