Номер 2.16, страница 30, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

2.16. Найдите значения функции Дирихле

$d(x) = \begin{cases} 0, & \text{если } x \text{ --- иррациональное число,} \\ 1, & \text{если } x \text{ --- рациональное число} \end{cases}$

при следующих значениях переменной $x$, если $x$ равно 5; 7,5; -44; 1,9(3); $\sqrt{10}$; $5\sqrt{5} - \sqrt{3}$; $\frac{\sqrt{180} - \sqrt{20}}{\sqrt{125}}$.

Функция Дирихле $d(x)$ определена следующим образом:

$d(x) = \begin{cases} 0, & \text{если } x \text{ — иррациональное число} \\ 1, & \text{если } x \text{ — рациональное число} \end{cases}$

Рациональными называются числа, которые можно представить в виде дроби $m/n$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное число. К ним относятся целые числа, конечные десятичные дроби и бесконечные периодические дроби. Иррациональные числа — это все остальные действительные числа.

Найдем значения функции для каждого заданного $x$.

При $x = 5$: Число 5 является целым, а значит, и рациональным, так как его можно представить в виде дроби $5/1$. Следовательно, $d(5) = 1$. Ответ: 1.

При $x = 7,5$: Число 7,5 является конечной десятичной дробью, которую можно представить в виде обыкновенной дроби: $7,5 = 75/10 = 15/2$. Это рациональное число, поэтому $d(7,5) = 1$. Ответ: 1.

При $x = -44$: Число -44 является целым, следовательно, рациональным ($-44 = -44/1$). Значит, $d(-44) = 1$. Ответ: 1.

При $x = 1,9(3)$: Число 1,9(3) является бесконечной периодической десятичной дробью. Любая такая дробь является рациональным числом. Переведем ее в обыкновенную дробь: $1,9(3) = 1 + 0,9(3) = 1 + \frac{93-9}{90} = 1 + \frac{84}{90} = 1 + \frac{14}{15} = \frac{29}{15}$. Так как число рациональное, $d(1,9(3)) = 1$. Ответ: 1.

При $x = \sqrt{10}$: Число 10 не является полным квадратом целого числа ($3^2=9, 4^2=16$). Корень из натурального числа, не являющегося полным квадратом, есть число иррациональное. Следовательно, $\sqrt{10}$ — иррациональное число, и $d(\sqrt{10}) = 0$. Ответ: 0.

При $x = 5\sqrt{5} - \sqrt{3}$: Числа $\sqrt{5}$ и $\sqrt{3}$ являются иррациональными. Предположим, что их разность $5\sqrt{5} - \sqrt{3}$ является рациональным числом $r$. Тогда $5\sqrt{5} = r + \sqrt{3}$. Возведем обе части в квадрат: $(5\sqrt{5})^2 = (r + \sqrt{3})^2$, что дает $125 = r^2 + 2r\sqrt{3} + 3$. Выразим $\sqrt{3}$: $2r\sqrt{3} = 122 - r^2$, откуда $\sqrt{3} = \frac{122 - r^2}{2r}$. В левой части стоит иррациональное число $\sqrt{3}$, а в правой — рациональное (так как $r$ — рациональное). Это противоречие. Следовательно, наше предположение неверно, и число $5\sqrt{5} - \sqrt{3}$ является иррациональным. Поэтому $d(5\sqrt{5} - \sqrt{3}) = 0$. Ответ: 0.

При $x = \frac{\sqrt{180} - \sqrt{20}}{\sqrt{125}}$: Упростим выражение. Для этого разложим подкоренные выражения на множители: $\sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5}$ $\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$ $\sqrt{125} = \sqrt{25 \cdot 5} = 5\sqrt{5}$ Подставим упрощенные значения в исходное выражение: $x = \frac{6\sqrt{5} - 2\sqrt{5}}{5\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{5\sqrt{5}} = \frac{4}{5}$. Число $4/5$ является рациональным. Следовательно, $d\left(\frac{\sqrt{180} - \sqrt{20}}{\sqrt{125}}\right) = 1$. Ответ: 1.