Номер 2.10, страница 28, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Постройте графики функций (2.10–2.11.):

2.10.1) $y = \begin{cases} x + 6, \text{ если } x < -3, \\ -x, \text{ если } x \ge -3; \end{cases}$

2) $y = \begin{cases} 2x, \text{ если } x > 4, \\ 2 + x, \text{ если } x \le 4; \end{cases}$

3) $y = \begin{cases} 3x - 1, \text{ если } x \le 0, \\ -4x - 1, \text{ если } x < 0; \end{cases}$

4) $y = \begin{cases} 12 - x, \text{ если } x > 3, \\ x^2, \text{ если } x \le 3. \end{cases}$

2.10.1) Данная функция является кусочно-заданной. Она состоит из двух частей, определенных на разных промежутках.

1. На промежутке $x < -3$ функция имеет вид $y = x + 6$. Это линейная функция, ее график – прямая. Для построения прямой достаточно двух точек. Найдем координаты граничной точки, подставив $x = -3$: $y = -3 + 6 = 3$. Точка $(-3, 3)$ не принадлежит этому участку графика, так как неравенство строгое, поэтому мы отметим ее как выколотую (пустой кружок). Возьмем еще одну точку из этого промежутка, например, $x = -5$: $y = -5 + 6 = 1$. Точка $(-5, 1)$ принадлежит графику. Графиком на этом промежутке является луч, выходящий из точки $(-3, 3)$ и проходящий через точку $(-5, 1)$.

2. На промежутке $x \ge -3$ функция имеет вид $y = -x$. Это также линейная функция, ее график – прямая (биссектриса второго и четвертого координатных углов). Найдем координаты граничной точки, подставив $x = -3$: $y = -(-3) = 3$. Точка $(-3, 3)$ принадлежит этому участку графика, так как неравенство нестрогое, поэтому мы отметим ее как закрашенную (сплошной кружок). Возьмем еще одну точку, например, $x = 0$: $y = -0 = 0$. Точка $(0, 0)$ принадлежит графику. Графиком на этом промежутке является луч, начинающийся в точке $(-3, 3)$ и проходящий через точку $(0, 0)$.

3. Объединим графики. Так как в точке $x = -3$ выколотая точка первого графика совпадает с начальной закрашенной точкой второго графика, функция в этой точке непрерывна. Итоговый график состоит из двух лучей, сходящихся в точке $(-3, 3)$.

Ответ: График состоит из двух лучей, соединенных в точке $(-3, 3)$. Для $x < -3$ это луч, проходящий через точки $(-5, 1)$ и $(-3, 3)$ (точка $(-3,3)$ выколота). Для $x \ge -3$ это луч, начинающийся в точке $(-3, 3)$ (точка закрашена) и проходящий через точку $(0, 0)$.

2) Данная функция является кусочно-заданной.

1. На промежутке $x \le 4$ функция имеет вид $y = 2 + x$. Это линейная функция, ее график – прямая. Найдем координаты граничной точки, подставив $x = 4$: $y = 2 + 4 = 6$. Точка $(4, 6)$ принадлежит графику, так как неравенство нестрогое (отметим ее закрашенным кружком). Возьмем другую точку из этого промежутка, например, $x = 0$: $y = 2 + 0 = 2$. Точка $(0, 2)$ принадлежит графику. Графиком является луч, заканчивающийся в точке $(4, 6)$ и проходящий через точку $(0, 2)$.

2. На промежутке $x > 4$ функция имеет вид $y = 2x$. Это также линейная функция. Найдем координаты граничной точки, подставив $x = 4$: $y = 2 \cdot 4 = 8$. Точка $(4, 8)$ не принадлежит этому участку графика, так как неравенство строгое (отметим ее выколотым кружком). Возьмем другую точку, например, $x = 5$: $y = 2 \cdot 5 = 10$. Точка $(5, 10)$ принадлежит графику. Графиком является луч, начинающийся в выколотой точке $(4, 8)$ и проходящий через точку $(5, 10)$.

3. Объединим графики. В точке $x = 4$ функция имеет разрыв, так как значение функции слева ($y=6$) не равно пределу справа ($y=8$). График состоит из двух непересекающихся лучей.

Ответ: График состоит из двух частей. Первая часть – луч, заканчивающийся в точке $(4, 6)$ (точка закрашенная) и проходящий через $(0, 2)$. Вторая часть – луч, начинающийся в точке $(4, 8)$ (точка выколотая) и проходящий через $(5, 10)$.

3) В условии задачи, по-видимому, допущена опечатка. Для значений $x < 0$ функция определяется двумя разными формулами: $y = 3x - 1$ (из условия $x \le 0$) и $y = -4x - 1$, что невозможно для функции, так как одному значению $x$ должно соответствовать только одно значение $y$. Предположим, что имелась в виду следующая корректная запись функции, где область определения разбита на два непересекающихся промежутка:

$y = \begin{cases} -4x-1, & \text{если } x < 0 \\ 3x-1, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

Построим график для этой исправленной функции.

1. На промежутке $x < 0$ функция имеет вид $y = -4x - 1$. Это линейная функция. Найдем координаты граничной точки, подставив $x = 0$: $y = -4 \cdot 0 - 1 = -1$. Точка $(0, -1)$ является выколотой. Возьмем другую точку, например, $x = -1$: $y = -4(-1) - 1 = 3$. Точка $(-1, 3)$ принадлежит графику. Графиком является луч, выходящий из точки $(0, -1)$ и проходящий через $(-1, 3)$.

2. На промежутке $x \ge 0$ функция имеет вид $y = 3x - 1$. Это линейная функция. Найдем координаты граничной точки, подставив $x = 0$: $y = 3 \cdot 0 - 1 = -1$. Точка $(0, -1)$ является закрашенной. Возьмем другую точку, например, $x = 2$: $y = 3 \cdot 2 - 1 = 5$. Точка $(2, 5)$ принадлежит графику. Графиком является луч, начинающийся в точке $(0, -1)$ и проходящий через $(2, 5)$.

3. Объединим графики. Выколотая точка $(0, -1)$ первого графика "закрашивается" начальной точкой второго графика. Следовательно, функция непрерывна. Итоговый график представляет собой два луча, сходящихся в точке $(0, -1)$.

Ответ: При предположении, что функция задана как $y = -4x-1$ для $x < 0$ и $y = 3x-1$ для $x \ge 0$, ее график состоит из двух лучей, сходящихся в точке $(0, -1)$. Один луч проходит через точки $(-1, 3)$ и $(0, -1)$, второй – через $(0, -1)$ и $(2, 5)$.

4) Данная функция является кусочно-заданной, состоящей из квадратичной и линейной частей.

1. На промежутке $x \le 3$ функция имеет вид $y = x^2$. Это квадратичная функция, ее график – парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх. Построим часть этой параболы для $x \le 3$. Найдем координаты граничной точки, подставив $x = 3$: $y = 3^2 = 9$. Точка $(3, 9)$ принадлежит графику (закрашенная). Другие характерные точки на этом участке: $(0, 0)$ (вершина), $(1, 1)$, $(2, 4)$, $(-1, 1)$, $(-2, 4)$.

2. На промежутке $x > 3$ функция имеет вид $y = 12 - x$. Это линейная функция, ее график – прямая. Найдем координаты граничной точки, подставив $x = 3$: $y = 12 - 3 = 9$. Точка $(3, 9)$ не принадлежит этому участку графика (выколотая). Возьмем другую точку, например, $x = 12$, чтобы найти пересечение с осью Ох: $y = 12 - 12 = 0$. Точка $(12, 0)$ принадлежит графику. Графиком является луч, выходящий из выколотой точки $(3, 9)$ и проходящий через точку $(12, 0)$.

3. Объединим графики. Выколотая точка $(3, 9)$ второго графика совпадает с конечной закрашенной точкой первого графика. Следовательно, функция непрерывна в точке $x=3$. Итоговый график состоит из части параболы и луча, которые соединяются в точке $(3, 9)$.

Ответ: График состоит из двух частей, соединенных в точке $(3, 9)$. Для $x \le 3$ это часть параболы $y=x^2$ с вершиной в $(0,0)$, проходящая через $(2,4)$ и заканчивающаяся в $(3,9)$. Для $x > 3$ это луч, выходящий из точки $(3,9)$ и проходящий через точку $(12,0)$.