Номер 2.7, страница 28, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

2.7. Пусть $f(x) = x^2 - 4x + 3$. Задайте аналитически функцию: $y = f(-x)$, $y = f(x + 2)$, $y = f(1 - x)$. Для каждой функции найдите:

1) множество значений;

2) точку пересечения с осью ординат;

3) нули.

Дана функция $f(x) = x^2 - 4x + 3$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем ее вершину: $x_v = -(-4)/(2 \cdot 1) = 2$, $y_v = f(2) = 2^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$. Вершина в точке $(2, -1)$.

Для функции $y = f(-x)$

Зададим функцию аналитически, подставив $-x$ вместо $x$ в исходную функцию:

$y = f(-x) = (-x)^2 - 4(-x) + 3 = x^2 + 4x + 3$.

Проанализируем полученную функцию $y = x^2 + 4x + 3$.

1) множество значений

Графиком функции является парабола с ветвями, направленными вверх ($a=1>0$). Множество ее значений ограничено снизу ординатой вершины. Найдем координаты вершины $(x_v, y_v)$: $x_v = -b / (2a) = -4 / (2 \cdot 1) = -2$.

$y_v = (-2)^2 + 4(-2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$.

Следовательно, минимальное значение функции равно $-1$.

Ответ: $E(y) = [-1, +\infty)$.

2) точка пересечения с осью ординат

Для нахождения точки пересечения с осью Oy, подставим $x=0$ в уравнение функции:

$y(0) = 0^2 + 4(0) + 3 = 3$.

Точка пересечения имеет координаты $(0, 3)$.

Ответ: $(0, 3)$.

3) нули

Для нахождения нулей функции решим уравнение $y=0$:

$x^2 + 4x + 3 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = -4$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 3$. Корнями являются числа $-1$ и $-3$.

Ответ: $x = -1, x = -3$.

Для функции $y = f(x + 2)$

Зададим функцию аналитически, подставив $x+2$ вместо $x$ в исходную функцию:

$y = f(x+2) = (x+2)^2 - 4(x+2) + 3 = (x^2 + 4x + 4) - (4x + 8) + 3 = x^2 + 4x + 4 - 4x - 8 + 3 = x^2 - 1$.

Проанализируем полученную функцию $y = x^2 - 1$.

1) множество значений

Графиком функции является парабола с ветвями вверх ($a=1>0$). Координаты вершины:

$x_v = -b / (2a) = -0 / (2 \cdot 1) = 0$.

$y_v = 0^2 - 1 = -1$.

Минимальное значение функции равно $-1$.

Ответ: $E(y) = [-1, +\infty)$.

2) точка пересечения с осью ординат

Подставим $x=0$ в уравнение функции:

$y(0) = 0^2 - 1 = -1$.

Точка пересечения имеет координаты $(0, -1)$.

Ответ: $(0, -1)$.

3) нули

Решим уравнение $y=0$:

$x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x^2 = 1$.

Корни уравнения: $x_1 = -1$, $x_2 = 1$.

Ответ: $x = -1, x = 1$.

Для функции $y = f(1 - x)$

Зададим функцию аналитически, подставив $1-x$ вместо $x$ в исходную функцию:

$y = f(1-x) = (1-x)^2 - 4(1-x) + 3 = (1 - 2x + x^2) - (4 - 4x) + 3 = 1 - 2x + x^2 - 4 + 4x + 3 = x^2 + 2x$.

Проанализируем полученную функцию $y = x^2 + 2x$.

1) множество значений

Графиком функции является парабола с ветвями вверх ($a=1>0$). Координаты вершины:

$x_v = -b / (2a) = -2 / (2 \cdot 1) = -1$.

$y_v = (-1)^2 + 2(-1) = 1 - 2 = -1$.

Минимальное значение функции равно $-1$.

Ответ: $E(y) = [-1, +\infty)$.

2) точка пересечения с осью ординат

Подставим $x=0$ в уравнение функции:

$y(0) = 0^2 + 2(0) = 0$.

Точка пересечения: $(0, 0)$.

Ответ: $(0, 0)$.

3) нули

Решим уравнение $y=0$:

$x^2 + 2x = 0 \Rightarrow x(x+2) = 0$.

Корни уравнения: $x_1 = 0$, $x_2 = -2$.

Ответ: $x = 0, x = -2$.