Номер 2.5, страница 27, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

2.5. Используя график функции, изображенный на рисунке 2.5, найдите:

1) область определения;

2) множество значений;

3) точку пересечения с осью ординат;

4) промежутки знакопостоянства.

1)

2)

3)

4)

Рис. 2.5

1) 1) область определения: Область определения функции $D(y)$ — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция определена. Из графика видно, что он состоит из кривой, определённой на отрезке $[-3, 1]$, и изолированной точки $(-2, 5)$. Так как $x=-2$ принадлежит отрезку $[-3, 1]$, область определения функции совпадает с этим отрезком.

Ответ: $D(y) = [-3, 1]$.

2) множество значений: Множество значений функции $E(y)$ — это множество всех значений $y$, которые функция принимает. Кривая на графике принимает значения от 0 (в точках $x=-3$ и $x=1$) до 4 (в вершине при $x=-1$). Значения $y$ для кривой образуют отрезок $[0, 4]$. Изолированная точка $(-2, 5)$ добавляет к множеству значений число 5. Таким образом, общее множество значений является объединением этих значений.

Ответ: $E(y) = [0, 4] \cup \{5\}$.

3) точку пересечения с осью ординат: Это точка, в которой график пересекает ось $y$, то есть точка с абсциссой $x=0$. Из графика видно, что при $x=0$ функция принимает значение $y=3$.

Ответ: $(0, 3)$.

4) промежутки знакопостоянства: Это промежутки, на которых функция сохраняет свой знак (положительный или отрицательный).

• $y > 0$: Функция положительна, когда ее график находится выше оси $x$. Кривая находится выше оси $x$ на интервале $(-3, 1)$. Изолированная точка $(-2, 5)$ также имеет положительную ординату. Таким образом, функция положительна на всем интервале $(-3, 1)$.
• $y < 0$: Функция отрицательна, когда ее график находится ниже оси $x$. Весь график расположен выше или на оси $x$, поэтому таких промежутков нет.

2) 1) область определения: График функции существует при всех значениях $x$. В точке $x=3$ значение функции определено и равно 2 (сплошная точка), в то время как точка $(3, -2)$ выколота. Таким образом, функция определена для всех действительных чисел.

Ответ: $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

2) множество значений: График функции $y=|x-3|-2$ имеет минимальное значение -2, но точка $(3, -2)$ выколота. Следовательно, значения $y$ стремятся к -2, но не достигают его. Все значения больше -2 достигаются. Изолированная точка $(3, 2)$ дает значение $y=2$, которое уже входит в промежуток $(-2, +\infty)$.

Ответ: $E(y) = (-2, +\infty)$.

3) точку пересечения с осью ординат: При $x=0$ значение функции равно $y = |0-3|-2 = 3-2=1$. Точка пересечения с осью $y$ соответствует показаниям на графике.

Ответ: $(0, 1)$.

4) промежутки знакопостоянства:

• $y > 0$: Решаем неравенство $|x-3|-2 > 0$, что эквивалентно $|x-3| > 2$. Это дает $x-3 > 2$ или $x-3 < -2$, откуда $x > 5$ или $x < 1$. Также в точке $x=3$ значение $y=2>0$, но это изолированная точка, а не промежуток.
• $y < 0$: Решаем неравенство $|x-3|-2 < 0$, что эквивалентно $|x-3| < 2$. Это дает $-2 < x-3 < 2$, откуда $1 < x < 5$. Однако, мы должны исключить точку $x=3$, так как в ней $y=2>0$.

3) Примечание: График в точке $x=0$ изображен неоднозначно. Предполагается, что точка $(0,3)$ принадлежит графику (закрашена), а точка $(0,5)$ — нет (выколота), чтобы выполнялось определение функции.

1) область определения: Функция определена на трех участках: от $x=-3$ до $x=0$ включительно, от $x=0$ до $x=4$ включительно (но $x=0$ исключен по предположению), и от $x=4$ до $x=7$ включительно (но $x=4$ исключен, так как точка $(4,-1)$ выколота). Таким образом, область определения — это объединение $[-3, 0]$, $(0, 4]$ и $(4, 7]$, что составляет отрезок $[-3, 7]$.

Ответ: $D(y) = [-3, 7]$.

2) множество значений:

• На отрезке $[-3, 0]$ значения $y$ изменяются от 0 до 3, то есть $y \in [0, 3]$.
• На промежутке $(0, 4]$ значения $y$ изменяются от 1 (включительно) до 5 (не включительно), то есть $y \in [1, 5)$.
• На промежутке $(4, 7]$ значения $y$ изменяются от -1 (не включительно) до 2 (включительно), то есть $y \in (-1, 2]$.

Ответ: $E(y) = (-1, 5)$.

3) точку пересечения с осью ординат: Согласно сделанному предположению, при $x=0$ значение функции $y=3$.

Ответ: $(0, 3)$.

4) промежутки знакопостоянства: Нули функции находятся в точках $x=-3$ и $x=5$.

• $y > 0$: На $(-3, 0]$, на $(0, 4]$ и на $(5, 7]$. Объединяя, получаем $x \in (-3, 4] \cup (5, 7]$.
• $y < 0$: На промежутке $(4, 7]$ функция $y = x-5$ отрицательна при $x < 5$. Таким образом, $y < 0$ на интервале $(4, 5)$.

4) 1) область определения: График функции представляет собой гиперболу с вертикальной асимптотой $x=2$. В этой точке функция не определена. Во всех остальных точках функция определена.

Ответ: $D(y) = (-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$.

2) множество значений: График имеет горизонтальную асимптоту $y=1$. Это означает, что функция принимает все значения, кроме $y=1$.

Ответ: $E(y) = (-\infty, 1) \cup (1, +\infty)$.

3) точку пересечения с осью ординат: График проходит через начало координат, поэтому точка пересечения с осью $y$ (и с осью $x$) — это точка $(0,0)$.

Ответ: $(0, 0)$.

4) промежутки знакопостоянства: Нуль функции находится в точке $x=0$.

• $y > 0$: График находится выше оси $x$ при $x < 0$ и при $x > 2$.
• $y < 0$: График находится ниже оси $x$ при $0 < x < 2$.