Номер 2.11, страница 29, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

2.11.1)

$y = \begin{cases} x + 4, & \text{если } x < -1, \\ 3x^2, & \text{если } x \ge -1; \end{cases}$

2)

$y = \begin{cases} 5x^2, & \text{если } x > 1, \\ 6 - x, & \text{если } x \le 1; \end{cases}$

3)

$y = \begin{cases} 3x - 1, & \text{если } x \le 0, \\ -4x - 1, & \text{если } x < 0; \end{cases}$

4)

$y = \begin{cases} -\frac{4}{x}, & \text{если } x > 4, \\ (0,25x)^2, & \text{если } x \le 4. \end{cases}$

1) Дана кусочно-заданная функция: $y = \begin{cases} x + 4, & \text{если } x < -1 \\ 3x^2, & \text{если } x \ge -1 \end{cases}$

Для исследования функции на непрерывность необходимо проверить точку $x = -1$, в которой меняется способ задания функции. Функция непрерывна в точке, если предел функции в этой точке существует и равен значению функции в этой точке. То есть, должны выполняться три условия:

1. Функция определена в точке $x = -1$.

2. Существуют и равны односторонние пределы: $\lim_{x \to -1^-} y(x) = \lim_{x \to -1^+} y(x)$.

3. Значение функции в точке равно значению предела: $y(-1) = \lim_{x \to -1} y(x)$.

Проверим эти условия:

1. Найдем значение функции в точке $x = -1$. Согласно условию, при $x \ge -1$ используется формула $y = 3x^2$.

$y(-1) = 3(-1)^2 = 3 \cdot 1 = 3$.

2. Найдем левосторонний предел (при $x \to -1$, где $x < -1$). Используем формулу $y = x + 4$:

$\lim_{x \to -1^-} y(x) = \lim_{x \to -1^-} (x + 4) = -1 + 4 = 3$.

3. Найдем правосторонний предел (при $x \to -1$, где $x > -1$). Используем формулу $y = 3x^2$:

$\lim_{x \to -1^+} y(x) = \lim_{x \to -1^+} (3x^2) = 3(-1)^2 = 3$.

Так как левосторонний предел равен правостороннему пределу ($3=3$), то предел функции в точке $x=-1$ существует и равен 3.

Значение функции в точке $y(-1) = 3$ совпадает со значением предела.

Следовательно, функция непрерывна в точке $x = -1$.

На промежутках $(-\infty; -1)$ и $(-1; +\infty)$ функция задана элементарными функциями (линейной и квадратичной), которые непрерывны на всей своей области определения.

Ответ: Функция непрерывна на всей числовой оси.

2) Дана кусочно-заданная функция: $y = \begin{cases} 5x^2, & \text{если } x > 1 \\ 6 - x, & \text{если } x \le 1 \end{cases}$

Исследуем на непрерывность в точке "стыка" $x = 1$.

1. Значение функции в точке $x = 1$. При $x \le 1$ используется формула $y = 6 - x$:

$y(1) = 6 - 1 = 5$.

2. Левосторонний предел (при $x \to 1$, где $x < 1$). Используем формулу $y = 6 - x$:

$\lim_{x \to 1^-} y(x) = \lim_{x \to 1^-} (6 - x) = 6 - 1 = 5$.

3. Правосторонний предел (при $x \to 1$, где $x > 1$). Используем формулу $y = 5x^2$:

$\lim_{x \to 1^+} y(x) = \lim_{x \to 1^+} (5x^2) = 5(1)^2 = 5$.

Односторонние пределы равны ($5=5$), и их значение совпадает со значением функции в точке $y(1) = 5$.

Следовательно, функция непрерывна в точке $x = 1$.

На остальных промежутках функция также непрерывна, так как задана непрерывными элементарными функциями.

Ответ: Функция непрерывна на всей числовой оси.

3) Дано выражение: $y = \begin{cases} 3x - 1, & \text{если } x \le 0 \\ -4x - 1, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

В данном виде выражение не является корректным определением функции. Область определения второй части ($x < 0$) является подмножеством области определения первой части ($x \le 0$). Это означает, что для любого значения $x < 0$ существуют два правила для вычисления $y$. По определению, функция должна сопоставлять каждому значению аргумента $x$ единственное значение $y$.

Проверим, дают ли формулы одинаковый результат при $x < 0$. Для этого приравняем их:

$3x - 1 = -4x - 1$

$7x = 0$

$x = 0$

Равенство выполняется только в точке $x=0$, которая не входит в интервал $x < 0$. Для любого $x < 0$ значения будут разными. Например, при $x=-2$:

$y = 3(-2) - 1 = -7$

$y = -4(-2) - 1 = 8 - 1 = 7$

Так как для одного $x$ получается два разных $y$, это не функция.

Вероятно, в условии допущена опечатка. Наиболее вероятный исправленный вариант: $y = \begin{cases} 3x - 1, & \text{если } x \le 0 \\ -4x - 1, & \text{если } x > 0 \end{cases}$

Исследуем на непрерывность эту исправленную функцию в точке $x=0$:

1. $y(0) = 3(0) - 1 = -1$.

2. $\lim_{x \to 0^-} y(x) = \lim_{x \to 0^-} (3x - 1) = -1$.

3. $\lim_{x \to 0^+} y(x) = \lim_{x \to 0^+} (-4x - 1) = -1$.

Так как $y(0) = \lim_{x \to 0} y(x) = -1$, исправленная функция непрерывна в точке $x=0$ и, следовательно, на всей числовой оси.

Ответ: В исходном виде выражение не является функцией. Если предположить, что в условии опечатка и вторая ветвь определена для $x > 0$, то полученная функция является непрерывной на всей числовой оси.

4) Дана кусочно-заданная функция: $y = \begin{cases} -\frac{4}{x}, & \text{если } x > 4 \\ (0,25x)^2, & \text{если } x \le 4 \end{cases}$

Исследуем на непрерывность в точке $x = 4$.

1. Значение функции в точке $x = 4$. При $x \le 4$ используется формула $y = (0,25x)^2$:

$y(4) = (0,25 \cdot 4)^2 = (1)^2 = 1$.

2. Левосторонний предел (при $x \to 4$, где $x < 4$). Используем формулу $y = (0,25x)^2$:

$\lim_{x \to 4^-} y(x) = \lim_{x \to 4^-} (0,25x)^2 = (0,25 \cdot 4)^2 = 1$.

3. Правосторонний предел (при $x \to 4$, где $x > 4$). Используем формулу $y = -\frac{4}{x}$:

$\lim_{x \to 4^+} y(x) = \lim_{x \to 4^+} (-\frac{4}{x}) = -\frac{4}{4} = -1$.

Левосторонний предел ($1$) не равен правостороннему пределу ($-1$).

$\lim_{x \to 4^-} y(x) \neq \lim_{x \to 4^+} y(x)$.

Следовательно, предел функции в точке $x=4$ не существует, и функция терпит разрыв в этой точке.

Так как односторонние пределы существуют, но не равны, это разрыв первого рода (скачок). Величина скачка равна $|\lim_{x \to 4^+} y(x) - \lim_{x \to 4^-} y(x)| = |-1 - 1| = 2$.

На всех остальных промежутках функция непрерывна.

Ответ: Функция имеет разрыв первого рода (скачок) в точке $x = 4$.