Номер 2.17, страница 30, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

2.17. Найдите значения функции

$R(x) = \begin{cases} \frac{1}{n}, & \text{если } x \text{ --- рациональное число и выражается} \\ & \text{несократимой дробью } \frac{m}{n}; \\ 0, & \text{если } x \text{ --- иррациональное число} \end{cases}$

при следующих значениях $x$: 0,7; 0,(5); 0,(63); 0,2(3); $\frac{1}{\pi}$; $\frac{\sqrt{50} + \sqrt{2}}{\sqrt{200}}$.

Для нахождения значений функции $R(x)$ необходимо для каждого значения аргумента $x$ определить, является ли оно рациональным или иррациональным. Если число рациональное, его нужно представить в виде несократимой дроби $\frac{m}{n}$ и тогда значение функции будет равно $\frac{1}{n}$. Если число иррациональное, значение функции равно 0.

0,7

Число 0,7 является конечной десятичной дробью, а значит, рациональным. Представим его в виде несократимой дроби:

$x = 0,7 = \frac{7}{10}$

Данная дробь является несократимой, так как наибольший общий делитель числителя 7 и знаменателя 10 равен 1. В этом случае $m=7$ и $n=10$.

По определению функции $R(x) = \frac{1}{n}$, находим:

$R(0,7) = \frac{1}{10}$

Ответ: $\frac{1}{10}$.

0 Число 0 является рациональным. Его можно представить в виде несократимой дроби, например, $\frac{0}{1}$.

Для этой дроби $m=0$ и $n=1$. Дробь является несократимой, так как НОД(0, 1) = 1.

По определению функции $R(x) = \frac{1}{n}$:

$R(0) = \frac{1}{1} = 1$

Ответ: 1.

0,(5)

Число 0,(5) — это чистая периодическая десятичная дробь, следовательно, оно рациональное. Преобразуем его в обыкновенную дробь:

Пусть $x = 0,(5) = 0,555...$

$10x = 5,555...$

$10x - x = 5,555... - 0,555...$

$9x = 5 \implies x = \frac{5}{9}$

Дробь $\frac{5}{9}$ является несократимой. Здесь $m=5$ и $n=9$.

Следовательно, $R(0,(5)) = \frac{1}{9}$.

Ответ: $\frac{1}{9}$.

0,(63)

Число 0,(63) является рациональным. Переведем его в обыкновенную дробь:

Пусть $x = 0,(63) = 0,6363...$

$100x = 63,6363...$

$100x - x = 63$

$99x = 63 \implies x = \frac{63}{99}$

Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель числителя и знаменателя равен 9:

$x = \frac{63 \div 9}{99 \div 9} = \frac{7}{11}$

Это несократимая дробь, где $m=7$ и $n=11$.

Следовательно, $R(0,(63)) = \frac{1}{11}$.

Ответ: $\frac{1}{11}$.

0,2(3)

Число 0,2(3) является смешанной периодической дробью, следовательно, оно рациональное. Переведем его в обыкновенную дробь:

Пусть $x = 0,2(3) = 0,2333...$

$10x = 2,333...$

$100x = 23,333...$

$100x - 10x = 23,333... - 2,333... = 21$

$90x = 21 \implies x = \frac{21}{90}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 3:

$x = \frac{21 \div 3}{90 \div 3} = \frac{7}{30}$

Дробь $\frac{7}{30}$ является несократимой ($m=7$, $n=30$).

Следовательно, $R(0,2(3)) = \frac{1}{30}$.

Ответ: $\frac{1}{30}$.

$\frac{1}{\pi}$

Число $\pi$ (пи) является иррациональным. Число, обратное ненулевому иррациональному числу, также является иррациональным.

Следовательно, $x = \frac{1}{\pi}$ — иррациональное число.

По определению функции для иррациональных чисел $R(x) = 0$.

$R(\frac{1}{\pi}) = 0$

Ответ: 0.

$\frac{\sqrt{50} + \sqrt{2}}{\sqrt{200}}$

Для начала упростим выражение для $x$:

$\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$

$\sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = 10\sqrt{2}$

Подставим упрощенные значения в исходное выражение:

$x = \frac{5\sqrt{2} + \sqrt{2}}{10\sqrt{2}} = \frac{(5+1)\sqrt{2}}{10\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{10\sqrt{2}}$

Так как $\sqrt{2} \neq 0$, мы можем сократить на $\sqrt{2}$:

$x = \frac{6}{10}$

Полученное число является рациональным. Приведем дробь к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2:

$x = \frac{6 \div 2}{10 \div 2} = \frac{3}{5}$

Это несократимая дробь, где $m=3$ и $n=5$.

Следовательно, $R\left(\frac{\sqrt{50} + \sqrt{2}}{\sqrt{200}}\right) = \frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{1}{5}$.