Номер 1.17, страница 20, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1.17.1) $y = \sqrt{\frac{5x + 4}{7 - 8x}}$;

2) $y = \sqrt{\frac{9x - 1}{16 - 6x}}$;

3) $y = \sqrt{\frac{x + 1}{x^2 - 4}}$;

4) $y = \sqrt{\frac{9 - x^2}{2 - x}}$

1)Дана функция $y = \sqrt{\frac{5x+4}{7-8x}}$. Область определения функции (ОДЗ) — это множество всех значений $x$, при которых выражение имеет смысл. Для данной функции необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным.

Решим неравенство $\frac{5x+4}{7-8x} \ge 0$ методом интервалов.

Сначала найдем нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $5x+4=0 \Rightarrow x = -4/5$.

Нуль знаменателя: $7-8x=0 \Rightarrow x = 7/8$.

Отметим эти точки на числовой оси. Точка $x=-4/5$ (корень числителя) будет закрашенной, так как неравенство нестрогое ($\ge$). Точка $x=7/8$ (корень знаменателя) будет выколотой, так как знаменатель не может быть равен нулю.

Определим знаки выражения на полученных интервалах: $(-\infty, -4/5]$, $[-4/5, 7/8)$ и $(7/8, +\infty)$.

- При $x > 7/8$ (например, $x=1$): $\frac{5(1)+4}{7-8(1)} = \frac{9}{-1} < 0$ (знак минус).

- При $-4/5 \le x < 7/8$ (например, $x=0$): $\frac{5(0)+4}{7-8(0)} = \frac{4}{7} > 0$ (знак плюс).

- При $x \le -4/5$ (например, $x=-1$): $\frac{5(-1)+4}{7-8(-1)} = \frac{-1}{15} < 0$ (знак минус).

Нам нужен промежуток, где выражение неотрицательно (знак плюс), включая корень числителя.

Ответ: $D(y) = [-4/5, 7/8)$.

2)Дана функция $y = \frac{\sqrt{9x-1}}{\sqrt{16-6x}}$. Ее можно записать как $y = \sqrt{\frac{9x-1}{16-6x}}$.

Область определения функции определяется системой неравенств. Подкоренное выражение в числителе должно быть неотрицательным, а подкоренное выражение в знаменателе — строго положительным (так как корень находится в знаменателе и не может быть равен нулю).

Составим и решим систему:

$\begin{cases} 9x-1 \ge 0 \\ 16-6x > 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство отдельно:

1. $9x-1 \ge 0 \Rightarrow 9x \ge 1 \Rightarrow x \ge 1/9$.

2. $16-6x > 0 \Rightarrow 16 > 6x \Rightarrow x < 16/6 \Rightarrow x < 8/3$.

Найдем пересечение решений: $x$ должен быть одновременно больше или равен $1/9$ и меньше $8/3$.

Ответ: $D(y) = [1/9, 8/3)$.

3)Дана функция $y = \sqrt{\frac{x+1}{x^2-4}}$.

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $\frac{x+1}{x^2-4} \ge 0$.

Разложим знаменатель на множители: $\frac{x+1}{(x-2)(x+2)} \ge 0$.

Решим неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

- Нуль числителя: $x+1=0 \Rightarrow x=-1$.

- Нули знаменателя: $(x-2)(x+2)=0 \Rightarrow x=2$ и $x=-2$.

Отметим точки $-2, -1, 2$ на числовой оси. Точки $-2$ и $2$ — выколотые (нули знаменателя), точка $-1$ — закрашенная (нуль числителя).

Определим знаки на интервалах:

- При $x > 2$ (например, $x=3$): $\frac{3+1}{(3-2)(3+2)} = \frac{4}{5} > 0$ (+).

- При $-1 \le x < 2$ (например, $x=0$): $\frac{0+1}{(0-2)(0+2)} = -\frac{1}{4} < 0$ (-).

- При $-2 < x < -1$ (например, $x=-1.5$): $\frac{-1.5+1}{(-1.5-2)(-1.5+2)} = \frac{-0.5}{(-3.5)(0.5)} > 0$ (+).

- При $x < -2$ (например, $x=-3$): $\frac{-3+1}{(-3-2)(-3+2)} = \frac{-2}{(-5)(-1)} = -\frac{2}{5} < 0$ (-).

Выбираем интервалы, где выражение больше или равно нулю.

Ответ: $D(y) = (-2, -1] \cup (2, +\infty)$.

4)Дана функция $y = \sqrt{\frac{9-x^2}{2-x}}$.

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $\frac{9-x^2}{2-x} \ge 0$.

Разложим числитель на множители: $\frac{(3-x)(3+x)}{2-x} \ge 0$.

Решим неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

- Нули числителя: $(3-x)(3+x)=0 \Rightarrow x=3$ и $x=-3$.

- Нуль знаменателя: $2-x=0 \Rightarrow x=2$.

Отметим точки $-3, 2, 3$ на числовой оси. Точки $-3$ и $3$ — закрашенные, точка $2$ — выколотая.

Определим знаки на интервалах. Для удобства можно привести выражение к виду $\frac{(x-3)(x+3)}{x-2} \ge 0$, поменяв знаки у множителей $(3-x)$ и $(2-x)$.

- При $x > 3$: $\frac{(+)(+)}{(+)} \Rightarrow$ (+).

- При $2 < x < 3$: $\frac{(-)(+)}{(+)} \Rightarrow$ (-).

- При $-3 < x < 2$: $\frac{(-)(+)}{(-)} \Rightarrow$ (+).

- При $x < -3$: $\frac{(-)(-)}{(-)} \Rightarrow$ (-).

Выбираем интервалы, где выражение больше или равно нулю.

Ответ: $D(y) = [-3, 2) \cup [3, +\infty)$.