Номер 1.11, страница 19, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1.11. Найдите область определения и множество значений функции, используя ее график (рис. 1.3):

1)

2)

3)

4)

Рис. 1.3

1) Область определения функции, обозначаемая как $D(y)$, представляет собой проекцию графика функции на ось абсцисс ($Ox$). Анализируя график, мы видим, что он существует для всех значений $x$ от $-4$ до $2$ включительно. Таким образом, область определения функции есть отрезок $D(y) = [-4; 2]$.

Множество значений функции, обозначаемое как $E(y)$, представляет собой проекцию графика на ось ординат ($Oy$). Из графика следует, что наименьшее значение функции равно $0$ (в точках $x=-4$ и $x=2$), а наибольшее значение равно $5$ (в вершине параболы при $x=-1$). Следовательно, множество значений функции есть отрезок $E(y) = [0; 5]$.

Ответ: $D(y) = [-4; 2]$, $E(y) = [0; 5]$.

2) Область определения функции $D(y)$ — это все значения $x$, для которых график существует. График простирается от минус бесконечности по оси $Ox$ до точки с абсциссой $x=2$. Эта точка (обозначена закрашенным кружком) включена в область определения. Таким образом, $D(y) = (-\infty; 2]$.

Множество значений функции $E(y)$ — это все значения $y$, которые принимает функция. График простирается от минус бесконечности по оси $Oy$ до точки с ординатой $y=1$. Эта точка также включена в множество значений. Таким образом, $E(y) = (-\infty; 1]$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 2]$, $E(y) = (-\infty; 1]$.

3) Область определения $D(y)$ находится как проекция графика на ось $Ox$. График начинается от минус бесконечности и заканчивается в точке $x=2$ (точка включена). Следовательно, область определения $D(y) = (-\infty; 2]$.

Множество значений $E(y)$ — это проекция графика на ось $Oy$. График имеет наименьшее значение $y=-1$ в точке $x=2$ (точка включена) и неограниченно возрастает вверх. Следовательно, множество значений $E(y) = [-1; +\infty)$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 2]$, $E(y) = [-1; +\infty)$.

4) Область определения $D(y)$. Ветви графика неограниченно простираются влево и вправо вдоль оси $Ox$, что означает, что функция определена для всех действительных чисел. Таким образом, область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Множество значений $E(y)$. График имеет минимальное значение в своей вершине, которая находится в точке $(2, -1)$. Ордината этой точки, $y=-1$, является наименьшим значением функции. От этой точки ветви графика уходят вверх в бесконечность. Таким образом, множество значений $E(y) = [-1; +\infty)$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$, $E(y) = [-1; +\infty)$.