Номер 1.6, страница 18, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1.6. Напишите формулу функции $y = f(x)$, областью определения которой является множество:

1) $(-\infty; +\infty);

2) $(-\infty; 0];

3) $[-2; +\infty);

4) $(-\infty; -6) \cup (-6; +\infty).

1) Область определения $(-\infty; +\infty)$ — это множество всех действительных чисел. Многие функции определены на всей числовой прямой. Самые простые примеры — это многочлены (например, линейная функция $y=x$ или квадратичная функция $y=x^2$), показательные функции (например, $y=2^x$), а также тригонометрические функции $y=\sin(x)$ и $y=\cos(x)$. В качестве примера выберем простую функцию.

Ответ: $y = x^2$ (или любая другая многочленная функция, например, $y=x+1$).

2) Область определения $(-\infty; 0]$ означает, что переменная $x$ может принимать любые значения, которые меньше или равны нулю ($x \le 0$). Такое ограничение часто возникает в функциях с квадратным корнем, так как подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Для функции вида $y = \sqrt{g(x)}$ должно выполняться условие $g(x) \ge 0$. Если мы возьмем $g(x) = -x$, то условие примет вид $-x \ge 0$, что эквивалентно $x \le 0$.

Ответ: $y = \sqrt{-x}$.

3) Область определения $[-2; +\infty)$ означает, что переменная $x$ должна быть больше или равна $-2$ ($x \ge -2$). Как и в предыдущем пункте, для создания такого ограничения удобно использовать функцию квадратного корня $y = \sqrt{g(x)}$, где $g(x) \ge 0$. Нам нужно, чтобы неравенство $g(x) \ge 0$ было равносильно неравенству $x \ge -2$. Этому условию удовлетворяет функция $g(x) = x+2$. Действительно, из $x+2 \ge 0$ следует $x \ge -2$.

Ответ: $y = \sqrt{x+2}$.

4) Область определения $(-\infty; -6) \cup (-6; +\infty)$ — это множество всех действительных чисел, за исключением точки $x=-6$. Такое ограничение является типичным для дробно-рациональных функций, знаменатель которых обращается в ноль в исключаемой точке. Для функции вида $y = \frac{p(x)}{q(x)}$ область определения задается условием $q(x) \neq 0$. Нам нужно, чтобы $q(x) = 0$ только при $x=-6$. Простейший многочлен, удовлетворяющий этому условию, — это $q(x) = x+6$. В качестве числителя $p(x)$ можно взять любую константу (кроме нуля) или функцию, определенную при $x=-6$.

Ответ: $y = \frac{1}{x+6}$.