Вопросы, страница 18, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Какие числовые функции вам известны? Перечислите эти функции и укажите для каждой из них область определения и область значений.

2. Может ли область определения числовой функции состоять из нескольких чисел?

3. Может ли множеством значений числовой функции быть: 1) числовая прямая; 2) числовой луч? Если это возможно, то приведите примеры известных вам функций с такой областью значений.

1. Известно множество числовых функций. Среди них: Линейная функция, задаваемая формулой $y = kx + b$. Ее область определения $D(y)$ — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Область значений $E(y)$ при $k \neq 0$ — также все действительные числа, $E(y) = (-\infty; +\infty)$; при $k=0$ функция постоянна и ее область значений состоит из одного числа $E(y) = \{b\}$. Квадратичная функция, задаваемая формулой $y = ax^2 + bx + c$ при $a \neq 0$. Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Область значений $E(y)$ — числовой луч: при $a > 0$ это $[y_{\text{в}}; +\infty)$, а при $a < 0$ это $(-\infty; y_{\text{в}}]$, где $y_{\text{в}}$ — значение функции в вершине параболы; например, для $y=x^2$ область значений $E(y)=[0; +\infty)$. Функция обратной пропорциональности, задаваемая формулой $y = k/x$ при $k \neq 0$. Область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, и область значений $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Функция квадратного корня, задаваемая формулой $y = \sqrt{x}$. Область определения $D(y) = [0; +\infty)$ и область значений $E(y) = [0; +\infty)$. Показательная функция, задаваемая формулой $y = a^x$ при $a > 0, a \neq 1$. Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$, а область значений $E(y) = (0; +\infty)$. Логарифмическая функция, задаваемая формулой $y = \log_a x$ при $a > 0, a \neq 1$. Область определения $D(y) = (0; +\infty)$, а область значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Ответ: Перечислены основные элементарные функции (линейная, квадратичная, обратной пропорциональности, квадратного корня, показательная, логарифмическая) и указаны их области определения и области значений.

2. Да, область определения числовой функции может состоять из нескольких, в том числе и конечного числа, чисел. Функция — это правило соответствия между двумя множествами, и нет требования, чтобы область определения была непрерывным промежутком. Например, можно рассмотреть функцию $y = x^3$, заданную на множестве $D(y) = \{-3, -1, 0, 2\}$. Для этой функции можно найти все ее значения: $y(-3) = -27$, $y(-1) = -1$, $y(0) = 0$, $y(2) = 8$. Область значений этой функции также будет состоять из нескольких чисел: $E(y) = \{-27, -1, 0, 8\}$.

Ответ: Да, может.

3. 1) Да, множеством значений числовой функции может быть вся числовая прямая, то есть интервал $(-\infty; +\infty)$. Примерами функций с такой областью значений являются: любая не постоянная линейная функция $y = kx + b$ при $k \neq 0$ (например, $y = 3x+5$); любая степенная функция с нечетным натуральным показателем $y = x^n$, где $n$ — нечетное число (например, $y=x^3$ или $y=x^5$); логарифмическая функция $y = \log_a x$ (например, $y = \ln x$).

2) Да, множеством значений числовой функции может быть числовой луч, то есть множество вида $[a; +\infty)$, $(a; +\infty)$, $(-\infty; a]$ или $(-\infty; a)$. Примерами функций с такой областью значений являются: квадратичная функция $y = x^2$, ее область значений — луч $[0; +\infty)$; функция $y = \sqrt{x}$, ее область значений — также луч $[0; +\infty)$; показательная функция $y = a^x$ (например, $y=e^x$), ее область значений — луч $(0; +\infty)$; квадратичная функция $y = -x^2+1$, ее область значений — луч $(-\infty; 1]$.

Ответ: Да, множеством значений может быть как числовая прямая, так и числовой луч; приведены примеры для обоих случаев.