Номер 55, страница 14, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

55. В таблице 1 приведена выборка массы (в кг) учащихся.

Таблица 1

57 56 56 58 55

59 57 58 56 58

56 58 59 55 59

57 56 59 57 57

58 59 56 59 56

По данным таблицы:

1) составьте вариационный ряд;

2) составьте таблицу абсолютных частот и таблицу относительных частот;

3) найдите объем выборки и среднее арифметическое значение;

4) найдите дисперсию.

1) составьте вариационный ряд;

Вариационный ряд представляет собой последовательность всех значений выборки, упорядоченную по возрастанию. Для начала выпишем все 25 значений массы из предоставленной таблицы:

57, 56, 56, 58, 55, 59, 57, 58, 56, 58, 56, 58, 59, 55, 59, 57, 56, 59, 57, 57, 58, 59, 56, 59, 56.

Теперь отсортируем эти значения в порядке возрастания, чтобы получить вариационный ряд:

55, 55, 56, 56, 56, 56, 56, 56, 56, 57, 57, 57, 57, 57, 58, 58, 58, 58, 58, 59, 59, 59, 59, 59, 59.

Ответ: Вариационный ряд: 55, 55, 56, 56, 56, 56, 56, 56, 56, 57, 57, 57, 57, 57, 58, 58, 58, 58, 58, 59, 59, 59, 59, 59, 59.

2) составьте таблицу абсолютных частот и таблицу относительных частот;

Абсолютная частота ($n_i$) — это количество раз, которое каждое уникальное значение (варианта $x_i$) встречается в выборке. Относительная частота ($w_i$) — это отношение абсолютной частоты к общему объему выборки ($n=25$).

Таблица абсолютных частот ($n_i$):

Масса 55 кг: $n_1 = 2$

Масса 56 кг: $n_2 = 7$

Масса 57 кг: $n_3 = 5$

Масса 58 кг: $n_4 = 5$

Масса 59 кг: $n_5 = 6$

Сумма абсолютных частот: $2+7+5+5+6 = 25$, что равно объему выборки.

Таблица относительных частот ($w_i = n_i/n$):

Масса 55 кг: $w_1 = 2/25 = 0.08$

Масса 56 кг: $w_2 = 7/25 = 0.28$

Масса 57 кг: $w_3 = 5/25 = 0.20$

Масса 58 кг: $w_4 = 5/25 = 0.20$

Масса 59 кг: $w_5 = 6/25 = 0.24$

Сумма относительных частот: $0.08 + 0.28 + 0.20 + 0.20 + 0.24 = 1.00$.

Ответ: Таблицы абсолютных и относительных частот представлены выше в виде списков.

3) найдите объем выборки и среднее арифметическое значение;

Объем выборки ($n$) — это общее количество наблюдений. В таблице 5 строк и 5 столбцов, следовательно, $n = 5 \times 5 = 25$.

Среднее арифметическое значение ($\bar{x}$) вычисляется по формуле для взвешенного среднего, используя частоты:

$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} x_i n_i}{n}$

Подставим наши значения:

$\sum x_i n_i = (55 \cdot 2) + (56 \cdot 7) + (57 \cdot 5) + (58 \cdot 5) + (59 \cdot 6)$

$\sum x_i n_i = 110 + 392 + 285 + 290 + 354 = 1431$

Теперь найдем среднее:

$\bar{x} = \frac{1431}{25} = 57.24$

Ответ: Объем выборки $n = 25$, среднее арифметическое значение $\bar{x} = 57.24$ кг.

4) найдите дисперсию.

Дисперсия ($D$) — это мера разброса значений в выборке относительно их среднего арифметического. Для ее вычисления удобно использовать формулу:

$D = \overline{x^2} - (\bar{x})^2$, где $\overline{x^2} = \frac{\sum_{i=1}^{k} x_i^2 n_i}{n}$ (средний квадрат значений).

Сначала вычислим сумму квадратов значений, взвешенных по их частотам ($\sum x_i^2 n_i$):

$\sum x_i^2 n_i = (55^2 \cdot 2) + (56^2 \cdot 7) + (57^2 \cdot 5) + (58^2 \cdot 5) + (59^2 \cdot 6)$

$\sum x_i^2 n_i = (3025 \cdot 2) + (3136 \cdot 7) + (3249 \cdot 5) + (3364 \cdot 5) + (3481 \cdot 6)$

$\sum x_i^2 n_i = 6050 + 21952 + 16245 + 16820 + 20886 = 81953$

Теперь найдем средний квадрат:

$\overline{x^2} = \frac{81953}{25} = 3278.12$

Наконец, вычислим дисперсию:

$D = \overline{x^2} - (\bar{x})^2 = 3278.12 - (57.24)^2 = 3278.12 - 3276.4176 = 1.7024$

Ответ: Дисперсия $D = 1.7024$ кг$^2$.