Номер 51, страница 13, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

51. Олжас живет от школы на расстоянии 1 км, Айгуль — на расстоянии 400 м. Длина шага Айгуль равна 60 см, Олжаса — 75 см. Олжас за 10 с делает 12 шагов, Айгуль — 10 шагов. Дайте ответы на следующие вопросы:

1) С какой скоростью идут в школу Айгуль и Олжас? (Скорость укажите в метрах в минуту).

2) На каком расстоянии друг от друга, возможно, живут Айгуль и Олжас?

3) Найдите возможную скорость сближения Айгуль и Олжаса.

4) Через какое время встретятся Айгуль и Олжас, если из дома они выходят одновременно? (Ответ округлите до целых и обоснуйте).

5) Сколько шагов должен делать Олжас за 10 с, если он желает прийти в школу раньше Айгуль и из дома они выходят одновременно? (Ответ округлите до целых и обоснуйте).

1) С какой скоростью идут в школу Айгуль и Олжас? (Скорость укажите в метрах в минуту).

Для определения скорости необходимо сначала найти расстояние, которое каждый проходит за единицу времени.

Расчет скорости Олжаса:

Длина шага Олжаса составляет 75 см, что равно $0,75$ м.

За 10 секунд Олжас делает 12 шагов. Пройденное им расстояние за это время: $S_{О}(10\text{с}) = 12 \text{ шагов} \times 0,75 \text{ м/шаг} = 9 \text{ м}$.

Скорость Олжаса в метрах в секунду: $v_{О} = \frac{9 \text{ м}}{10 \text{ с}} = 0,9 \text{ м/с}$.

Чтобы перевести скорость в метры в минуту, умножим на 60, так как в одной минуте 60 секунд: $v_{О} = 0,9 \frac{\text{м}}{\text{с}} \times 60 \frac{\text{с}}{\text{мин}} = 54 \frac{\text{м}}{\text{мин}}$.

Расчет скорости Айгуль:

Длина шага Айгуль составляет 60 см, что равно $0,6$ м.

За 10 секунд Айгуль делает 10 шагов. Пройденное ей расстояние за это время: $S_{А}(10\text{с}) = 10 \text{ шагов} \times 0,6 \text{ м/шаг} = 6 \text{ м}$.

Скорость Айгуль в метрах в секунду: $v_{А} = \frac{6 \text{ м}}{10 \text{ с}} = 0,6 \text{ м/с}$.

Переведем ее скорость в метры в минуту: $v_{А} = 0,6 \frac{\text{м}}{\text{с}} \times 60 \frac{\text{с}}{\text{мин}} = 36 \frac{\text{м}}{\text{мин}}$.

Ответ: Скорость Олжаса — 54 м/мин, скорость Айгуль — 36 м/мин.

2) На каком расстоянии друг от друга, возможно, живут Айгуль и Олжас?

В условии не указано, как расположены дома Олжаса и Айгуль относительно школы. Рассмотрим два наиболее вероятных сценария, предполагая, что их дома и школа лежат на одной прямой.

Расстояние от дома Олжаса до школы: $S_О = 1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$.

Расстояние от дома Айгуль до школы: $S_А = 400 \text{ м}$.

Сценарий 1: Дома находятся по разные стороны от школы.

В этом случае расстояние между их домами равно сумме расстояний от каждого дома до школы: $D_1 = S_О + S_А = 1000 \text{ м} + 400 \text{ м} = 1400 \text{ м}$.

Сценарий 2: Дома находятся по одну сторону от школы.

Так как Олжас живет дальше ($1000 \text{ м} > 400 \text{ м}$), дом Айгуль расположен между домом Олжаса и школой. Расстояние между домами в этом случае равно разности расстояний до школы: $D_2 = S_О - S_А = 1000 \text{ м} - 400 \text{ м} = 600 \text{ м}$.

Ответ: Возможное расстояние между домами Айгуль и Олжаса составляет 600 м или 1400 м.

3) Найдите возможную скорость сближения Айгуль и Олжаса.

Скорость сближения зависит от их взаимного расположения, так как оба движутся к школе. Воспользуемся скоростями, вычисленными в первом пункте ($v_О = 54$ м/мин, $v_А = 36$ м/мин) и сценариями из второго пункта.

Сценарий 1: Дома находятся по разные стороны от школы.

В этом случае они движутся навстречу друг другу. Их скорость сближения равна сумме их скоростей: $v_{сбл1} = v_О + v_А = 54 \frac{\text{м}}{\text{мин}} + 36 \frac{\text{м}}{\text{мин}} = 90 \frac{\text{м}}{\text{мин}}$.

Сценарий 2: Дома находятся по одну сторону от школы.

В этом случае они движутся в одном направлении, причем Олжас находится позади и движется быстрее. Он догоняет Айгуль. Скорость сближения (догона) равна разности их скоростей: $v_{сбл2} = v_О - v_А = 54 \frac{\text{м}}{\text{мин}} - 36 \frac{\text{м}}{\text{мин}} = 18 \frac{\text{м}}{\text{мин}}$.

Ответ: Возможная скорость сближения 90 м/мин или 18 м/мин.

4) Через какое время встретятся Айгуль и Олжас, если из дома они выходят одновременно? (Ответ округлите до целых и обоснуйте).

Время до встречи ($t_{встр}$) вычисляется по формуле $t = \frac{D}{v_{сбл}}$, где $D$ — начальное расстояние, а $v_{сбл}$ — скорость сближения. Рассмотрим оба возможных сценария.

Сценарий 1: Движение навстречу.

Начальное расстояние $D_1 = 1400 \text{ м}$, скорость сближения $v_{сбл1} = 90$ м/мин.

$t_{встр1} = \frac{1400 \text{ м}}{90 \text{ м/мин}} \approx 15,55... \text{ мин}$.

Округляя до целого числа, получаем 16 минут. Обоснование: они начинают движение с расстояния 1400 м и сближаются с общей скоростью 90 м/мин.

Сценарий 2: Движение вдогонку.

Начальное расстояние $D_2 = 600 \text{ м}$, скорость сближения $v_{сбл2} = 18$ м/мин.

$t_{встр2} = \frac{600 \text{ м}}{18 \text{ м/мин}} \approx 33,33... \text{ мин}$.

Округляя до целого числа, получаем 33 минуты. Обоснование: Олжас догоняет Айгуль, сокращая начальное расстояние 600 м с относительной скоростью 18 м/мин.

Ответ: Они могут встретиться примерно через 16 минут (если идут с разных сторон от школы) или примерно через 33 минуты (если идут с одной стороны).

5) Сколько шагов должен делать Олжас за 10 с, если он желает прийти в школу раньше Айгуль и из дома они выходят одновременно? (Ответ округлите до целых и обоснуйте).

1. Найдем время, за которое Айгуль добирается до школы:

$t_А = \frac{S_А}{v_А} = \frac{400 \text{ м}}{36 \text{ м/мин}} = \frac{100}{9} \text{ мин} \approx 11,11 \text{ мин}$.

2. Олжас должен прийти раньше, значит, его время в пути $t_О$ должно быть меньше времени Айгуль: $t_О < t_А$.

Ему нужно пройти $S_О = 1000 \text{ м}$ за время $t_О < \frac{100}{9}$ мин.

3. Вычислим требуемую скорость для Олжаса ($v_О'$):

$v_О' = \frac{S_О}{t_О}$. Так как $t_О < \frac{100}{9}$, то $v_О' > \frac{S_О}{100/9} = \frac{1000 \text{ м}}{100/9 \text{ мин}} = \frac{1000 \times 9}{100} = 90 \frac{\text{м}}{\text{мин}}$.

4. Теперь найдем, сколько шагов в 10 секунд ($N$) соответствует этой скорости. Скорость Олжаса связана с количеством шагов $N$ и длиной шага $L_О = 0,75$ м:

$v_О' (\text{м/мин}) = \frac{N \times L_О}{10 \text{ с}} \times 60 \frac{\text{с}}{\text{мин}} = \frac{N \times 0,75}{10} \times 60 = N \times 4,5$.

5. Составим неравенство и решим его относительно $N$:

$N \times 4,5 > 90$

$N > \frac{90}{4,5}$

$N > 20$.

Обоснование: Поскольку количество шагов $N$ должно быть целым числом, а неравенство строгое ($N > 20$), наименьшее целое число, которое удовлетворяет этому условию, это 21. Таким образом, Олжас должен делать как минимум 21 шаг за 10 секунд, чтобы прийти раньше Айгуль.

Ответ: Олжас должен делать 21 шаг за 10 секунд.