Номер 46, страница 11, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

46. Вычислите:

1) $ \frac{2\cos\frac{\pi}{6} - \sqrt{3}\operatorname{tg}60^\circ}{2\sin\frac{\pi}{6} + \cos60^\circ} $;

2) $ \frac{\sqrt{3}\operatorname{ctg}30^\circ - \sqrt{2}\sin\frac{\pi}{4}}{3\operatorname{tg}45^\circ - 2\cos0^\circ} $;

3) $ \frac{\operatorname{tg}30^\circ + \cos\frac{\pi}{6}}{\sin\frac{\pi}{2} - 4\operatorname{ctg}45^\circ} $;

4) $ \frac{\sqrt{2}\sin45^\circ + \sqrt{2}\cos\frac{\pi}{4}}{5\operatorname{tg}\frac{\pi}{4} - 4\operatorname{ctg}\frac{\pi}{4}} $.

1) Для вычисления значения выражения $\frac{2\cos\frac{\pi}{6} - \sqrt{3}\operatorname{tg}60^\circ}{2\sin\frac{\pi}{6} + \cos60^\circ}$ необходимо подставить табличные значения тригонометрических функций.

Нам известны следующие значения:

$\cos\frac{\pi}{6} = \cos30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\operatorname{tg}60^\circ = \sqrt{3}$

$\sin\frac{\pi}{6} = \sin30^\circ = \frac{1}{2}$

$\cos60^\circ = \frac{1}{2}$

Подставим эти значения в числитель выражения:

$2\cos\frac{\pi}{6} - \sqrt{3}\operatorname{tg}60^\circ = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3} - 3$

Теперь подставим значения в знаменатель:

$2\sin\frac{\pi}{6} + \cos60^\circ = 2 \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

Разделим числитель на знаменатель:

$\frac{\sqrt{3} - 3}{\frac{3}{2}} = (\sqrt{3} - 3) \cdot \frac{2}{3} = \frac{2\sqrt{3} - 6}{3}$

Ответ: $\frac{2\sqrt{3} - 6}{3}$.

2) Для вычисления значения выражения $\frac{\sqrt{3}\operatorname{ctg}30^\circ - \sqrt{2}\sin\frac{\pi}{4}}{3\operatorname{tg}45^\circ - 2\cos0^\circ}$ подставим табличные значения тригонометрических функций.

Нам известны следующие значения:

$\operatorname{ctg}30^\circ = \sqrt{3}$

$\sin\frac{\pi}{4} = \sin45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\operatorname{tg}45^\circ = 1$

$\cos0^\circ = 1$

Подставим эти значения в числитель выражения:

$\sqrt{3}\operatorname{ctg}30^\circ - \sqrt{2}\sin\frac{\pi}{4} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} - \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3 - \frac{2}{2} = 3 - 1 = 2$

Теперь подставим значения в знаменатель:

$3\operatorname{tg}45^\circ - 2\cos0^\circ = 3 \cdot 1 - 2 \cdot 1 = 3 - 2 = 1$

Разделим числитель на знаменатель:

$\frac{2}{1} = 2$

Ответ: 2.

3) Для вычисления значения выражения $\frac{\operatorname{tg}30^\circ + \cos\frac{\pi}{6}}{\sin\frac{\pi}{2} - 4\operatorname{ctg}45^\circ}$ подставим табличные значения тригонометрических функций.

Нам известны следующие значения:

$\operatorname{tg}30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\cos\frac{\pi}{6} = \cos30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin\frac{\pi}{2} = \sin90^\circ = 1$

$\operatorname{ctg}45^\circ = 1$

Подставим эти значения в числитель выражения:

$\operatorname{tg}30^\circ + \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{6} + \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{5\sqrt{3}}{6}$

Теперь подставим значения в знаменатель:

$\sin\frac{\pi}{2} - 4\operatorname{ctg}45^\circ = 1 - 4 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$

Разделим числитель на знаменатель:

$\frac{\frac{5\sqrt{3}}{6}}{-3} = \frac{5\sqrt{3}}{6 \cdot (-3)} = -\frac{5\sqrt{3}}{18}$

Ответ: $-\frac{5\sqrt{3}}{18}$.

4) Для вычисления значения выражения $\frac{\sqrt{2}\sin45^\circ + \sqrt{2}\cos\frac{\pi}{4}}{5\operatorname{tg}\frac{\pi}{4} - 4\operatorname{ctg}\frac{\pi}{4}}$ подставим табличные значения тригонометрических функций.

Нам известны следующие значения:

$\sin45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos\frac{\pi}{4} = \cos45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\operatorname{tg}\frac{\pi}{4} = \operatorname{tg}45^\circ = 1$

$\operatorname{ctg}\frac{\pi}{4} = \operatorname{ctg}45^\circ = 1$

Подставим эти значения в числитель выражения:

$\sqrt{2}\sin45^\circ + \sqrt{2}\cos\frac{\pi}{4} = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2}{2} + \frac{2}{2} = 1 + 1 = 2$

Теперь подставим значения в знаменатель:

$5\operatorname{tg}\frac{\pi}{4} - 4\operatorname{ctg}\frac{\pi}{4} = 5 \cdot 1 - 4 \cdot 1 = 5 - 4 = 1$

Разделим числитель на знаменатель:

$\frac{2}{1} = 2$

Ответ: 2.