Номер 45, страница 11, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

45. Найдите $ \cos(\alpha - \beta) $, $ \sin(\alpha + \beta) $, $ \operatorname{tg}(\alpha - \beta) $, если $ \sin\alpha = \frac{6}{7} $, $ \sin\beta = \frac{7}{8} $ и $ \alpha, \beta \in \text{I} $ четверти.

Поскольку углы $ \alpha $ и $ \beta $ находятся в I четверти, их синусы и косинусы положительны. Нам даны значения синусов, найдем значения косинусов, используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2x + \cos^2x = 1 $, откуда $ \cos x = \sqrt{1 - \sin^2x} $ для углов в I четверти.

Для угла $ \alpha $:

$ \cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha} = \sqrt{1 - (\frac{6}{7})^2} = \sqrt{1 - \frac{36}{49}} = \sqrt{\frac{49-36}{49}} = \sqrt{\frac{13}{49}} = \frac{\sqrt{13}}{7} $.

Для угла $ \beta $:

$ \cos\beta = \sqrt{1 - \sin^2\beta} = \sqrt{1 - (\frac{7}{8})^2} = \sqrt{1 - \frac{49}{64}} = \sqrt{\frac{64-49}{64}} = \sqrt{\frac{15}{64}} = \frac{\sqrt{15}}{8} $.

Теперь мы можем найти требуемые значения.

cos(α - β)

Используем формулу косинуса разности: $ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta $.

Подставляем известные значения:

$ \cos(\alpha - \beta) = \frac{\sqrt{13}}{7} \cdot \frac{\sqrt{15}}{8} + \frac{6}{7} \cdot \frac{7}{8} = \frac{\sqrt{13 \cdot 15}}{56} + \frac{42}{56} = \frac{\sqrt{195} + 42}{56} $.

Ответ: $ \frac{42 + \sqrt{195}}{56} $.

sin(α + β)

Используем формулу синуса суммы: $ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta $.

Подставляем известные значения:

$ \sin(\alpha + \beta) = \frac{6}{7} \cdot \frac{\sqrt{15}}{8} + \frac{\sqrt{13}}{7} \cdot \frac{7}{8} = \frac{6\sqrt{15}}{56} + \frac{7\sqrt{13}}{56} = \frac{6\sqrt{15} + 7\sqrt{13}}{56} $.

Ответ: $ \frac{6\sqrt{15} + 7\sqrt{13}}{56} $.

tg(α - β)

Используем формулу тангенса разности: $ \tan(\alpha - \beta) = \frac{\sin(\alpha - \beta)}{\cos(\alpha - \beta)} $. Мы уже нашли $ \cos(\alpha - \beta) $. Найдем $ \sin(\alpha - \beta) $.

Формула синуса разности: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta $.

$ \sin(\alpha - \beta) = \frac{6}{7} \cdot \frac{\sqrt{15}}{8} - \frac{\sqrt{13}}{7} \cdot \frac{7}{8} = \frac{6\sqrt{15}}{56} - \frac{7\sqrt{13}}{56} = \frac{6\sqrt{15} - 7\sqrt{13}}{56} $.

Теперь найдем тангенс:

$ \tan(\alpha - \beta) = \frac{\sin(\alpha - \beta)}{\cos(\alpha - \beta)} = \frac{\frac{6\sqrt{15} - 7\sqrt{13}}{56}}{\frac{42 + \sqrt{195}}{56}} = \frac{6\sqrt{15} - 7\sqrt{13}}{42 + \sqrt{195}} $.

Ответ: $ \frac{6\sqrt{15} - 7\sqrt{13}}{42 + \sqrt{195}} $.