Номер 39, страница 11, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

39. Представьте в виде обыкновенной дроби бесконечную периодическую дробь:

1) $2,(31)$;

2) $0,(103)$;

3) $2,3(41)$;

4) $45,0(23)$.

1) 2,(31)

Чтобы представить число $2,(31)$ в виде обыкновенной дроби, сначала выделим целую и дробную части: $2,(31) = 2 + 0,(31)$.

Теперь преобразуем периодическую дробь $0,(31)$ в обыкновенную. Обозначим $x = 0,(31)$. Это означает, что $x = 0,313131...$

Поскольку в периоде две цифры, умножим обе части равенства на $10^2 = 100$:

$100x = 31,313131...$

Теперь вычтем из этого равенства исходное ($x = 0,313131...$):

$100x - x = 31,313131... - 0,313131...$

$99x = 31$

$x = \frac{31}{99}$

Подставим полученное значение обратно в исходное выражение:

$2,(31) = 2 + \frac{31}{99} = \frac{2 \cdot 99}{99} + \frac{31}{99} = \frac{198 + 31}{99} = \frac{229}{99}$

Ответ: $\frac{229}{99}$

2) 0,(103)

Обозначим данную чистую периодическую дробь как $x = 0,(103)$, то есть $x = 0,103103103...$

В периоде содержится три цифры, поэтому умножим обе части равенства на $10^3 = 1000$:

$1000x = 103,103103...$

Вычтем из полученного равенства исходное ($x = 0,103103...$):

$1000x - x = 103,103103... - 0,103103...$

$999x = 103$

$x = \frac{103}{999}$

Ответ: $\frac{103}{999}$

3) 2,3(41)

Это смешанная периодическая дробь. Обозначим ее как $x = 2,3(41)$, то есть $x = 2,3414141...$

Чтобы избавиться от периодической части, сначала умножим $x$ на такое число, чтобы запятая оказалась после первого периода. В периоде две цифры, а до него одна. Значит, умножаем на $10^{1+2} = 1000$:

$1000x = 2341,4141...$

Теперь умножим $x$ на такое число, чтобы запятая оказалась перед периодом. До периода одна цифра, значит, умножаем на $10^1 = 10$:

$10x = 23,4141...$

Вычтем второе уравнение из первого:

$1000x - 10x = 2341,4141... - 23,4141...$

$990x = 2318$

$x = \frac{2318}{990}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$x = \frac{1159}{495}$

Ответ: $\frac{1159}{495}$

4) 45,0(23)

Это смешанная периодическая дробь. Обозначим ее как $x = 45,0(23)$, то есть $x = 45,0232323...$

Умножим $x$ на $10^3 = 1000$, чтобы сдвинуть запятую за первый период:

$1000x = 45023,2323...$

Умножим $x$ на $10^1 = 10$, чтобы сдвинуть запятую перед периодом:

$10x = 450,2323...$

Вычтем второе уравнение из первого:

$1000x - 10x = 45023,2323... - 450,2323...$

$990x = 45023 - 450$

$990x = 44573$

$x = \frac{44573}{990}$

Дробь является несократимой, так как числитель 44573 не делится на простые множители знаменателя 990 (2, 3, 5, 11).

Ответ: $\frac{44573}{990}$