Номер 33, страница 10, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

33. 1) Найдите первый член и разность арифметической прогрессии, если значение суммы первого и четвертого членов равно 23, а значение суммы третьего и шестого членов равно 31.

2) Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии, если значение суммы первого и третьего членов равно 49,2, а значение разности первого и третьего членов равно -15,6.

3) Найдите значение суммы первых пяти членов арифметической прогрессии, если $a_2 + a_4 = 3,4$.

1) Пусть $a_1$ — первый член арифметической прогрессии, а $d$ — её разность. Формула n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

По условию задачи даны два соотношения:

1) Сумма первого и четвертого членов равна 23: $a_1 + a_4 = 23$.

2) Сумма третьего и шестого членов равна 31: $a_3 + a_6 = 31$.

Выразим $a_3$, $a_4$ и $a_6$ через $a_1$ и $d$:

$a_3 = a_1 + 2d$

$a_4 = a_1 + 3d$

$a_6 = a_1 + 5d$

Подставим эти выражения в исходные уравнения и получим систему:

$a_1 + (a_1 + 3d) = 23 \Rightarrow 2a_1 + 3d = 23$

$(a_1 + 2d) + (a_1 + 5d) = 31 \Rightarrow 2a_1 + 7d = 31$

Решим систему уравнений:

$\begin{cases}2a_1 + 3d = 23 \\2a_1 + 7d = 31\end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти $d$:

$(2a_1 + 7d) - (2a_1 + 3d) = 31 - 23$

$4d = 8$

$d = 2$

Теперь подставим найденное значение $d=2$ в первое уравнение, чтобы найти $a_1$:

$2a_1 + 3 \cdot 2 = 23$

$2a_1 + 6 = 23$

$2a_1 = 17$

$a_1 = 8,5$

Ответ: первый член $a_1 = 8,5$, разность $d = 2$.

2) Пусть $b_1$ — первый член геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Формула n-го члена: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Из условия задачи имеем систему уравнений относительно $b_1$ и $b_3$:

$\begin{cases}b_1 + b_3 = 49,2 \\b_1 - b_3 = -15,6\end{cases}$

Сложим два уравнения, чтобы найти $b_1$:

$(b_1 + b_3) + (b_1 - b_3) = 49,2 - 15,6$

$2b_1 = 33,6$

$b_1 = 16,8$

Подставим значение $b_1$ в первое уравнение, чтобы найти $b_3$:

$16,8 + b_3 = 49,2$

$b_3 = 49,2 - 16,8 = 32,4$

Теперь найдем знаменатель прогрессии $q$. Используем формулу третьего члена $b_3 = b_1 \cdot q^2$:

$32,4 = 16,8 \cdot q^2$

$q^2 = \frac{32,4}{16,8} = \frac{324}{168}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 12:

$q^2 = \frac{324 \div 12}{168 \div 12} = \frac{27}{14}$

Отсюда находим возможные значения для $q$:

$q = \pm\sqrt{\frac{27}{14}}$

Ответ: первый член $b_1 = 16,8$, знаменатель $q = \pm\sqrt{\frac{27}{14}}$.

3) Нам нужно найти сумму первых пяти членов арифметической прогрессии, $S_5$. Формула суммы первых $n$ членов: $S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$.

Для $n=5$ формула принимает вид:

$S_5 = \frac{5}{2}(2a_1 + (5-1)d) = \frac{5}{2}(2a_1 + 4d) = 5(a_1 + 2d)$

По условию задачи известно, что $a_2 + a_4 = 3,4$.

Выразим $a_2$ и $a_4$ через первый член $a_1$ и разность $d$:

$a_2 = a_1 + d$

$a_4 = a_1 + 3d$

Подставим эти выражения в данное равенство:

$(a_1 + d) + (a_1 + 3d) = 3,4$

$2a_1 + 4d = 3,4$

Теперь мы можем подставить значение выражения $2a_1 + 4d$ в формулу для $S_5$:

$S_5 = \frac{5}{2}(2a_1 + 4d) = \frac{5}{2} \cdot 3,4$

$S_5 = 5 \cdot \frac{3,4}{2} = 5 \cdot 1,7 = 8,5$

Можно также заметить, что $a_2 + a_4 = (a_1+d) + (a_1+3d) = 2(a_1+2d) = 2a_3$. Отсюда $2a_3 = 3,4$, значит, третий член прогрессии $a_3 = 1,7$. Для нечетного числа членов сумма равна произведению числа членов на средний член: $S_5 = 5 \cdot a_3 = 5 \cdot 1,7 = 8,5$.

Ответ: $S_5 = 8,5$.