Номер 34, страница 10, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

34. Найдите $n$ и $S_m$ арифметической прогрессии, если:

1) $a_1 = -35$; $a_n = -15$; $d = 5$ и $m = 6$;

2) $a_3 = -6,6$; $a_n = -7,3$; $d = 0,7$ и $m = 20$.

1) Дано: $a_1 = -35$; $a_n = -15$; $d = 5$ и $m = 6$.

Для нахождения номера члена $n$ воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Подставим известные значения:

$-15 = -35 + (n-1) \cdot 5$

Перенесем $-35$ в левую часть уравнения, изменив знак:

$35 - 15 = 5(n-1)$

$20 = 5(n-1)$

Разделим обе части уравнения на 5:

$4 = n-1$

Отсюда находим $n$:

$n = 4 + 1 = 5$

Теперь найдем сумму первых $m=6$ членов прогрессии, то есть $S_6$. Воспользуемся формулой суммы первых $m$ членов: $S_m = \frac{2a_1 + (m-1)d}{2} \cdot m$.

Подставим значения $a_1 = -35$, $d = 5$ и $m = 6$:

$S_6 = \frac{2 \cdot (-35) + (6-1) \cdot 5}{2} \cdot 6$

$S_6 = \frac{-70 + 5 \cdot 5}{2} \cdot 6$

$S_6 = \frac{-70 + 25}{2} \cdot 6$

$S_6 = \frac{-45}{2} \cdot 6$

$S_6 = -45 \cdot 3 = -135$

Ответ: $n=5$, $S_6=-135$.

2) Дано: $a_3 = -6,6$; $a_n = -7,3$; $d = 0,7$ и $m = 20$.

Сначала найдем первый член прогрессии $a_1$. Используем формулу n-го члена $a_k = a_1 + (k-1)d$ для $k=3$:

$a_3 = a_1 + (3-1)d$

Подставим известные значения $a_3 = -6,6$ и $d = 0,7$:

$-6,6 = a_1 + 2 \cdot 0,7$

$-6,6 = a_1 + 1,4$

Выразим $a_1$:

$a_1 = -6,6 - 1,4 = -8$

Теперь, зная $a_1 = -8$, мы можем найти номер $n$ для члена $a_n = -7,3$, используя ту же формулу:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

$-7,3 = -8 + (n-1) \cdot 0,7$

Перенесем $-8$ в левую часть:

$8 - 7,3 = (n-1) \cdot 0,7$

$0,7 = (n-1) \cdot 0,7$

Разделим обе части на 0,7:

$1 = n-1$

$n = 1 + 1 = 2$

Наконец, вычислим сумму первых $m=20$ членов, $S_{20}$, по формуле $S_m = \frac{2a_1 + (m-1)d}{2} \cdot m$.

Подставим $a_1 = -8$, $d = 0,7$ и $m = 20$:

$S_{20} = \frac{2 \cdot (-8) + (20-1) \cdot 0,7}{2} \cdot 20$

Сократим дробь на 2:

$S_{20} = (2 \cdot (-8) + 19 \cdot 0,7) \cdot 10$

$S_{20} = (-16 + 13,3) \cdot 10$

$S_{20} = -2,7 \cdot 10 = -27$

Ответ: $n=2$, $S_{20}=-27$.