Номер 27, страница 8, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

27. Запишите аналитическую формулу функции $y = f(x)$ по ее графику (рис. 1):

1)

2)

3)

Рис. 1

1) График представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз. Общее уравнение такой параболы в вершинной форме имеет вид $y = a(x - x_0)^2 + y_0$, где $(x_0, y_0)$ — координаты вершины параболы.

Из графика определяем координаты вершины: $(1, 3)$. Таким образом, $x_0 = 1$ и $y_0 = 3$.

Подставляя эти значения в общую формулу, получаем: $y = a(x - 1)^2 + 3$.

Чтобы найти коэффициент $a$, возьмем любую другую точку на графике. Например, точка с координатами $(0, 2)$ принадлежит параболе. Подставим ее координаты в уравнение:

$2 = a(0 - 1)^2 + 3$

$2 = a(-1)^2 + 3$

$2 = a + 3$

$a = 2 - 3 = -1$

Следовательно, аналитическая формула функции: $y = -(x - 1)^2 + 3$.

Для проверки можно раскрыть скобки: $y = -(x^2 - 2x + 1) + 3 = -x^2 + 2x - 1 + 3 = -x^2 + 2x + 2$.

Ответ: $y = -(x - 1)^2 + 3$

2) График представляет собой гиперболу. Общая формула для смещенной гиперболы: $y = \frac{k}{x - x_0} + y_0$, где $x = x_0$ — вертикальная асимптота, а $y = y_0$ — горизонтальная асимптота.

Из графика видно, что вертикальная асимптота — это прямая $x = -2$, а горизонтальная асимптота — прямая $y = 1$.

Следовательно, $x_0 = -2$ и $y_0 = 1$.

Подставляем эти значения в общую формулу: $y = \frac{k}{x - (-2)} + 1 = \frac{k}{x + 2} + 1$.

Для нахождения коэффициента $k$ выберем точку на графике, например, $(0, 0)$. Подставим ее координаты в уравнение:

$0 = \frac{k}{0 + 2} + 1$

$0 = \frac{k}{2} + 1$

$\frac{k}{2} = -1$

$k = -2$

Таким образом, аналитическая формула функции: $y = \frac{-2}{x + 2} + 1$.

Ответ: $y = \frac{-2}{x + 2} + 1$

3) График представляет собой смещенную функцию квадратного корня. Общая формула такой функции: $y = a\sqrt{x - x_0} + y_0$, где $(x_0, y_0)$ — координаты начальной точки графика.

Из графика видно, что начальная точка имеет координаты $(-2, -2)$.

Следовательно, $x_0 = -2$ и $y_0 = -2$.

Подставляем эти значения в общую формулу: $y = a\sqrt{x - (-2)} - 2 = a\sqrt{x + 2} - 2$.

Для нахождения коэффициента $a$ выберем другую точку на графике, например, $(-1, -1)$. Подставим ее координаты в уравнение:

$-1 = a\sqrt{-1 + 2} - 2$

$-1 = a\sqrt{1} - 2$

$-1 = a - 2$

$a = -1 + 2 = 1$

Следовательно, аналитическая формула функции: $y = \sqrt{x + 2} - 2$.

Ответ: $y = \sqrt{x + 2} - 2$