Номер 20, страница 7, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

20. 1) Имеются два слитка сплавов меди и олова. Первый содержит 40% меди, второй — 68% олова. Найдите массы этих слитков, чтобы при их совместной переплавке получить 8 кг сплава, содержащего 35% меди.

2) Смесь массой 18 кг состоит из двух веществ. После того как из нее выделили 40% первого вещества и 25% второго вещества, в смеси обоих веществ стало одинаковое количество. Найдите первоначальное количество каждого вещества в этой смеси.

1) Обозначим массу первого слитка как $m_1$ (в кг), а массу второго слитка как $m_2$ (в кг).Согласно условию, общая масса полученного сплава равна 8 кг, следовательно, мы можем составить первое уравнение:$m_1 + m_2 = 8$.

Первый слиток содержит 40% меди, значит, масса меди в нем составляет $0.4 \cdot m_1$.Второй слиток содержит 68% олова, следовательно, меди в нем $100\% - 68\% = 32\%$. Масса меди во втором слитке составляет $0.32 \cdot m_2$.Полученный сплав массой 8 кг содержит 35% меди, то есть общая масса меди в нем равна $8 \cdot 0.35 = 2.8$ кг.

Сумма масс меди из двух слитков равна массе меди в конечном сплаве. Составим второе уравнение:$0.4 m_1 + 0.32 m_2 = 2.8$.

Получаем систему из двух уравнений:$\begin{cases} m_1 + m_2 = 8 \\ 0.4 m_1 + 0.32 m_2 = 2.8\end{cases}$

Из первого уравнения выразим $m_1$: $m_1 = 8 - m_2$.Подставим это выражение во второе уравнение:$0.4(8 - m_2) + 0.32 m_2 = 2.8$$3.2 - 0.4 m_2 + 0.32 m_2 = 2.8$$3.2 - 0.08 m_2 = 2.8$$0.08 m_2 = 3.2 - 2.8$$0.08 m_2 = 0.4$$m_2 = \frac{0.4}{0.08} = 5$ кг.

Теперь найдем массу первого слитка:$m_1 = 8 - m_2 = 8 - 5 = 3$ кг.

Таким образом, масса первого слитка равна 3 кг, а масса второго — 5 кг.

Ответ: масса первого слитка — 3 кг, масса второго слитка — 5 кг.

2) Обозначим первоначальную массу первого вещества как $x$ (в кг), а второго — как $y$ (в кг).Общая масса смеси составляет 18 кг, значит, можем составить первое уравнение:$x + y = 18$.

Из смеси выделили 40% первого вещества. Следовательно, в смеси осталось $100\% - 40\% = 60\%$ первого вещества. Его масса стала $x - 0.4x = 0.6x$.Из смеси выделили 25% второго вещества. Следовательно, в смеси осталось $100\% - 25\% = 75\%$ второго вещества. Его масса стала $y - 0.25y = 0.75y$.

По условию, после выделения части веществ их массы в смеси стали равны. Составим второе уравнение:$0.6x = 0.75y$.

Получаем систему из двух уравнений:$\begin{cases} x + y = 18 \\ 0.6x = 0.75y\end{cases}$

Из второго уравнения выразим $x$ через $y$:$x = \frac{0.75}{0.6}y = \frac{75}{60}y = \frac{5}{4}y = 1.25y$.Подставим это выражение в первое уравнение:$1.25y + y = 18$$2.25y = 18$$y = \frac{18}{2.25} = \frac{18}{9/4} = 18 \cdot \frac{4}{9} = 8$ кг.

Теперь найдем первоначальную массу первого вещества:$x = 18 - y = 18 - 8 = 10$ кг.

Таким образом, первоначальная масса первого вещества — 10 кг, а второго — 8 кг.

Ответ: первоначальное количество первого вещества — 10 кг, второго вещества — 8 кг.