Номер 15, страница 6, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

15. Изобразите на координатной прямой множество точек, заданных системой неравенств:

1) $\begin{cases} x^2 - 7x \ge 0, \\ x + 4 > 0; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 7x - x^2 < 0 \\ 4 - 3x \le 0; \end{cases}$

3) $\begin{cases} y^2 + x^2 \le 4, \\ 2 - x \le 0; \end{cases}$

4) $\begin{cases} y - 0.5x^2 \ge 0, \\ y^2 + x^2 \le 16. \end{cases}$

1) Решим данную систему неравенств поочередно.

Первое неравенство: $x^2 - 7x \ge 0$.

Разложим левую часть на множители: $x(x - 7) \ge 0$.

Корнями соответствующего уравнения $x(x - 7) = 0$ являются точки $x_1 = 0$ и $x_2 = 7$.

Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется на промежутках, где функция не ниже оси абсцисс, то есть $x \in (-\infty, 0] \cup [7, \infty)$.

Второе неравенство: $x + 4 > 0$.

Это линейное неравенство, решение которого $x > -4$, то есть $x \in (-4, \infty)$.

Решением системы является пересечение полученных множеств: $((-\infty, 0] \cup [7, \infty)) \cap (-4, \infty)$.

На координатной прямой это соответствует объединению промежутков $(-4, 0]$ и $[7, \infty)$.

Множество точек на координатной прямой представляет собой интервал от -4 (не включая) до 0 (включая), а также луч от 7 (включая) до плюс бесконечности.

Ответ: $x \in (-4, 0] \cup [7, \infty)$.

2) Решим данную систему неравенств.

Первое неравенство: $7x - x^2 < 0$.

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства: $x^2 - 7x > 0$.

Разложим на множители: $x(x - 7) > 0$.

Корни уравнения $x(x-7)=0$ — это $x_1=0$ и $x_2=7$.

Решением неравенства являются промежутки $x \in (-\infty, 0) \cup (7, \infty)$.

Второе неравенство: $4 - 3x \le 0$.

$-3x \le -4$.

Разделим на -3, изменив знак неравенства: $x \ge \frac{4}{3}$.

Решение этого неравенства: $x \in [\frac{4}{3}, \infty)$.

Найдем пересечение решений обоих неравенств: $((-\infty, 0) \cup (7, \infty)) \cap [\frac{4}{3}, \infty)$.

Промежуток $(-\infty, 0)$ не имеет общих точек с $[\frac{4}{3}, \infty)$.

Пересечением $(7, \infty)$ и $[\frac{4}{3}, \infty)$ является интервал $(7, \infty)$.

На координатной прямой это луч, начинающийся в точке 7 (не включая ее) и идущий вправо.

Ответ: $x \in (7, \infty)$.

3) Данная система содержит две переменные, $x$ и $y$, поэтому ее решение следует изображать на координатной плоскости Oxy.

Первое неравенство: $y^2 + x^2 \le 4$.

Это неравенство $x^2 + y^2 \le 2^2$ задает множество точек, находящихся внутри и на границе окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R=2$. Геометрически это сплошной круг.

Второе неравенство: $2 - x \le 0$.

Это неравенство эквивалентно $x \ge 2$.

Оно задает замкнутую полуплоскость, состоящую из точек, лежащих на вертикальной прямой $x=2$ и правее нее.

Решением системы является пересечение этих двух множеств.

Круг $x^2 + y^2 \le 4$ содержит точки, у которых координата $x$ удовлетворяет условию $-2 \le x \le 2$.

Полуплоскость $x \ge 2$ содержит точки, у которых $x \ge 2$.

Единственное значение $x$, удовлетворяющее обоим условиям, это $x=2$.

Подставим $x=2$ в первое неравенство: $2^2 + y^2 \le 4 \Rightarrow 4 + y^2 \le 4 \Rightarrow y^2 \le 0$.

Единственное действительное число, удовлетворяющее $y^2 \le 0$, это $y=0$.

Следовательно, система имеет единственное решение — точку $(2, 0)$.

Ответ: Точка $(2, 0)$.

4) Данная система содержит две переменные, $x$ и $y$, поэтому ее решение следует изображать на координатной плоскости Oxy.

Первое неравенство: $y - 0,5x^2 \ge 0$, что эквивалентно $y \ge 0,5x^2$.

Это множество точек, лежащих на параболе $y = 0,5x^2$ и выше нее. Парабола имеет вершину в точке $(0,0)$ и ее ветви направлены вверх.

Второе неравенство: $y^2 + x^2 \le 16$.

Это неравенство $x^2 + y^2 \le 4^2$ задает сплошной круг с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R=4$.

Решением системы является пересечение этих двух областей: части круга, которая находится на и выше параболы.

Чтобы определить границы этой области, найдем точки пересечения параболы $y = 0,5x^2$ и окружности $x^2 + y^2 = 16$.

Подставим $y = 0,5x^2$ в уравнение окружности:

$x^2 + (0,5x^2)^2 = 16$

$x^2 + 0,25x^4 = 16$

Пусть $t = x^2$ ($t \ge 0$). Получаем квадратное уравнение: $0,25t^2 + t - 16 = 0$.

Умножим на 4: $t^2 + 4t - 64 = 0$.

Решаем относительно $t$: $t = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4(1)(-64)}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{272}}{2} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{17}}{2} = -2 \pm 2\sqrt{17}$.

Так как $t \ge 0$, подходит только корень $t = 2\sqrt{17} - 2$.

Тогда $x^2 = 2\sqrt{17} - 2$, а $x = \pm \sqrt{2\sqrt{17} - 2}$.

Соответствующая ордината $y = 0,5x^2 = 0,5(2\sqrt{17} - 2) = \sqrt{17} - 1$.

Искомое множество точек — это замкнутая область на координатной плоскости, ограниченная снизу дугой параболы $y = 0,5x^2$ и сверху дугой окружности $x^2 + y^2 = 16$.

Ответ: Множество точек на плоскости Oxy, удовлетворяющих условиям $y \ge 0,5x^2$ и $x^2 + y^2 \le 16$. Геометрически это область, ограниченная снизу параболой $y = 0,5x^2$ и сверху окружностью $x^2+y^2=16$, включая обе границы.