Номер 10, страница 5, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10. Графическим способом решите систему уравнений (ответ округлите до десятых):

1) $ \begin{cases} xy = 1, \\ y = 2x^2; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} x - y = -2, \\ y = 2x^2 - 3; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \\ y = 2 - x^2; \end{cases} $

4) $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 9, \\ xy = 2. \end{cases} $

1) Для графического решения системы уравнений $ \begin{cases} xy = 1, \\ y = 2x^2; \end{cases} $ построим в одной системе координат графики каждого из уравнений.

Первое уравнение, $xy=1$, можно переписать в виде $y=1/x$. Это уравнение гиперболы, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. График проходит через точки $(1, 1)$, $(2, 0.5)$, $(-1, -1)$, $(-2, -0.5)$.

Второе уравнение, $y=2x^2$, является уравнением параболы. Ее вершина находится в точке $(0, 0)$, а ветви направлены вверх. График проходит через точки $(1, 2)$, $(-1, 2)$, $(0.5, 0.5)$.

Построив оба графика, мы видим, что они пересекаются в одной точке, расположенной в первой четверти. Определим координаты этой точки по графику. Приблизительные координаты точки пересечения — $(0.8, 1.3)$.

Ответ: $(0.8, 1.3)$.

2) Рассмотрим систему уравнений $ \begin{cases} x - y = -2, \\ y = 2x^2 - 3. \end{cases} $

Преобразуем первое уравнение к виду $y=x+2$. Теперь нам нужно найти точки пересечения графиков функций $y=x+2$ и $y=2x^2-3$.

График функции $y=x+2$ — это прямая, проходящая, например, через точки $(0, 2)$ и $(-2, 0)$.

График функции $y=2x^2-3$ — это парабола с вершиной в точке $(0, -3)$, ветви которой направлены вверх.

Построим оба графика в одной системе координат. Мы видим, что графики пересекаются в двух точках. Приблизительные координаты этих точек: $(-1.4, 0.6)$ и $(1.9, 3.9)$.

Ответ: $(-1.4, 0.6)$, $(1.9, 3.9)$.

3) Рассмотрим систему уравнений $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \\ y = 2 - x^2. \end{cases} $

График первого уравнения, $x^2 + y^2 = 4$, — это окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r=\sqrt{4}=2$.

График второго уравнения, $y = 2 - x^2$, — это парабола, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке $(0, 2)$.

Построим окружность и параболу в одной системе координат. Вершина параболы $(0, 2)$ лежит на окружности. Графики пересекаются еще в двух точках, симметричных относительно оси $Oy$. Координаты этих точек можно определить из графика. Всего получается три точки пересечения.

Координаты точек пересечения: $(0, 2)$, $(1.7, -1.0)$ и $(-1.7, -1.0)$.

Ответ: $(0.0, 2.0)$, $(1.7, -1.0)$, $(-1.7, -1.0)$.

4) Рассмотрим систему уравнений $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 9, \\ xy = 2. \end{cases} $

График первого уравнения, $x^2 + y^2 = 9$, — это окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r=\sqrt{9}=3$.

График второго уравнения, $xy=2$ или $y=2/x$, — это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях.

Построим графики в одной системе координат. Окружность и гипербола пересекаются в четырех точках: две в первой четверти и две в третьей. Точки в первой четверти симметричны относительно прямой $y=x$. Точки в третьей четверти симметричны точкам в первой четверти относительно начала координат.

Определив по графику координаты точек пересечения и округлив их до десятых, получим: $(0.7, 2.9)$, $(2.9, 0.7)$, $(-0.7, -2.9)$ и $(-2.9, -0.7)$.

Ответ: $(0.7, 2.9)$, $(2.9, 0.7)$, $(-0.7, -2.9)$, $(-2.9, -0.7)$.