Номер 12, страница 6, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12. Решите систему уравнений:

1)

$\begin{cases} x^2 - 3xy + 2y^2 = 0, \\ x^2 + y^2 = 20; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} x^2 - 5y^2 + 1 = 0, \\ 3xy + 7y^2 = 1; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} x^2 - 4xy + y^2 - 6 = 0, \\ 4+3xy-y^2 = 0. \end{cases}$

1) Дана система уравнений:

$\begin{cases}x^2 - 3xy + 2y^2 = 0 \\x^2 + y^2 = 20\end{cases}$

Первое уравнение системы является однородным уравнением второй степени. Разложим его левую часть на множители. Для этого решим его как квадратное уравнение относительно $x$:

$x = \frac{3y \pm \sqrt{(-3y)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2y^2}}{2} = \frac{3y \pm \sqrt{9y^2 - 8y^2}}{2} = \frac{3y \pm \sqrt{y^2}}{2} = \frac{3y \pm y}{2}$

Отсюда получаем два случая:

$x_1 = \frac{3y+y}{2} = 2y$

$x_2 = \frac{3y-y}{2} = y$

Таким образом, первое уравнение равносильно совокупности двух уравнений: $x=y$ или $x=2y$.

Теперь рассмотрим два случая, подставляя эти выражения во второе уравнение системы $x^2 + y^2 = 20$.

Случай 1: $x = y$

Подставляем в $x^2 + y^2 = 20$:

$y^2 + y^2 = 20$

$2y^2 = 20$

$y^2 = 10$

$y = \pm\sqrt{10}$

Если $y = \sqrt{10}$, то $x = \sqrt{10}$.

Если $y = -\sqrt{10}$, то $x = -\sqrt{10}$.

Получаем две пары решений: $(\sqrt{10}, \sqrt{10})$ и $(-\sqrt{10}, -\sqrt{10})$.

Случай 2: $x = 2y$

Подставляем в $x^2 + y^2 = 20$:

$(2y)^2 + y^2 = 20$

$4y^2 + y^2 = 20$

$5y^2 = 20$

$y^2 = 4$

$y = \pm 2$

Если $y = 2$, то $x = 2 \cdot 2 = 4$.

Если $y = -2$, то $x = 2 \cdot (-2) = -4$.

Получаем еще две пары решений: $(4, 2)$ и $(-4, -2)$.

Ответ: $(\sqrt{10}, \sqrt{10}), (-\sqrt{10}, -\sqrt{10}), (4, 2), (-4, -2)$.

2) Дана система уравнений:

$\begin{cases}x^2 - 5y^2 + 1 = 0 \\3xy + 7y^2 = 1\end{cases}$

Перепишем систему, выразив свободные члены:

$\begin{cases}x^2 - 5y^2 = -1 \\3xy + 7y^2 = 1\end{cases}$

Сложим два уравнения системы, чтобы избавиться от свободного члена:

$(x^2 - 5y^2) + (3xy + 7y^2) = -1 + 1$

$x^2 + 3xy + 2y^2 = 0$

Мы получили однородное уравнение. Разложим его на множители (аналогично предыдущей задаче):

$(x+y)(x+2y) = 0$

Отсюда следует, что $x+y=0$ или $x+2y=0$. То есть $x=-y$ или $x=-2y$.

Рассмотрим два случая, подставляя эти выражения во второе исходное уравнение $3xy + 7y^2 = 1$.

Случай 1: $x = -y$

$3(-y)y + 7y^2 = 1$

$-3y^2 + 7y^2 = 1$

$4y^2 = 1$

$y^2 = \frac{1}{4} \implies y = \pm \frac{1}{2}$

Если $y = \frac{1}{2}$, то $x = -\frac{1}{2}$.

Если $y = -\frac{1}{2}$, то $x = \frac{1}{2}$.

Получаем две пары решений: $(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ и $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$.

Случай 2: $x = -2y$

$3(-2y)y + 7y^2 = 1$

$-6y^2 + 7y^2 = 1$

$y^2 = 1 \implies y = \pm 1$

Если $y = 1$, то $x = -2$.

Если $y = -1$, то $x = 2$.

Получаем еще две пары решений: $(-2, 1)$ и $(2, -1)$.

Ответ: $(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}), (\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}), (-2, 1), (2, -1)$.

3) Дана система уравнений:

$\begin{cases}x^2 - 4xy + y^2 - 6 = 0 \\4 + 3xy - y^2 = 0\end{cases}$

Перепишем систему, перенеся свободные члены в правую часть:

$\begin{cases}x^2 - 4xy + y^2 = 6 \\3xy - y^2 = -4\end{cases}$

Чтобы получить однородное уравнение, избавимся от свободных членов. Умножим первое уравнение на 4, а второе на 6, чтобы правые части стали $24$ и $-24$.

$\begin{cases}4(x^2 - 4xy + y^2) = 24 \\6(3xy - y^2) = -24\end{cases}$

$\begin{cases}4x^2 - 16xy + 4y^2 = 24 \\18xy - 6y^2 = -24\end{cases}$

Теперь сложим полученные уравнения:

$(4x^2 - 16xy + 4y^2) + (18xy - 6y^2) = 24 + (-24)$

$4x^2 + 2xy - 2y^2 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$2x^2 + xy - y^2 = 0$

Решим это однородное уравнение. Удобнее поменять знаки и рассматривать как квадратное относительно $y$:

$y^2 - xy - 2x^2 = 0$

Разложим на множители:

$(y - 2x)(y + x) = 0$

Отсюда $y = 2x$ или $y = -x$.

Подставим эти соотношения в одно из исходных уравнений, например, в $3xy - y^2 = -4$.

Случай 1: $y = 2x$

$3x(2x) - (2x)^2 = -4$

$6x^2 - 4x^2 = -4$

$2x^2 = -4$

$x^2 = -2$

В этом случае действительных решений нет.

Случай 2: $y = -x$

$3x(-x) - (-x)^2 = -4$

$-3x^2 - x^2 = -4$

$-4x^2 = -4$

$x^2 = 1 \implies x = \pm 1$

Если $x = 1$, то $y = -1$.

Если $x = -1$, то $y = -(-1) = 1$.

Получаем две пары решений: $(1, -1)$ и $(-1, 1)$.

Ответ: $(1, -1), (-1, 1)$.