Номер 14, страница 6, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14. Решите систему неравенств:

1)

$\begin{cases} -x^2 + 2x + 15 > 0, \\ x^2 - 12x + 27 < 0; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} x^2 + 6x + 16 \le 0, \\ x^2 + x + 20 > 0; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} -x^2 + x + 12 \ge 0, \\ x^2 - 3x - 10 < 0. \end{cases}$

1) Решим первое неравенство системы: $-x^2 + 2x + 15 > 0$.

Умножим обе части на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный: $x^2 - 2x - 15 < 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 2x - 15 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{2 - \sqrt{64}}{2} = \frac{2-8}{2} = -3$, $x_2 = \frac{2 + \sqrt{64}}{2} = \frac{2+8}{2} = 5$.

Так как ветви параболы $y = x^2 - 2x - 15$ направлены вверх, неравенство $x^2 - 2x - 15 < 0$ выполняется на интервале между корнями. Решение первого неравенства: $x \in (-3; 5)$.

Решим второе неравенство системы: $x^2 - 12x + 27 < 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 12x + 27 = 0$.

По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 3$, $x_2 = 9$.

Так как ветви параболы $y = x^2 - 12x + 27$ направлены вверх, неравенство $x^2 - 12x + 27 < 0$ выполняется на интервале между корнями. Решение второго неравенства: $x \in (3; 9)$.

Найдем пересечение множеств решений обоих неравенств: $(-3; 5) \cap (3; 9)$.

Общим решением является интервал $(3; 5)$.

Ответ: $x \in (3; 5)$.

2) Решим первое неравенство системы: $x^2 + 6x + 16 \le 0$.

Рассмотрим функцию $y = x^2 + 6x + 16$. Это парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ положителен).

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 36 - 64 = -28$.

Так как $D < 0$ и ветви параболы направлены вверх, парабола целиком расположена выше оси Ox. Это означает, что выражение $x^2 + 6x + 16$ всегда положительно. Следовательно, неравенство $x^2 + 6x + 16 \le 0$ не имеет решений.

Поскольку одно из неравенств системы не имеет решений, вся система не имеет решений.

Ответ: решений нет.

3) Решим первое неравенство системы: $-x^2 + x + 12 \ge 0$.

Умножим обе части на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный: $x^2 - x - 12 \le 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - x - 12 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{1 - \sqrt{49}}{2} = \frac{1-7}{2} = -3$, $x_2 = \frac{1 + \sqrt{49}}{2} = \frac{1+7}{2} = 4$.

Так как ветви параболы $y = x^2 - x - 12$ направлены вверх, неравенство $x^2 - x - 12 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями. Решение первого неравенства: $x \in [-3; 4]$.

Решим второе неравенство системы: $x^2 - 3x - 10 < 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 3x - 10 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{3 - \sqrt{49}}{2} = \frac{3-7}{2} = -2$, $x_2 = \frac{3 + \sqrt{49}}{2} = \frac{3+7}{2} = 5$.

Так как ветви параболы $y = x^2 - 3x - 10$ направлены вверх, неравенство $x^2 - 3x - 10 < 0$ выполняется на интервале между корнями. Решение второго неравенства: $x \in (-2; 5)$.

Найдем пересечение множеств решений обоих неравенств: $[-3; 4] \cap (-2; 5)$.

Общим решением является полуинтервал $(-2; 4]$.

Ответ: $x \in (-2; 4]$.