Номер 11, страница 5, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

11. Найдите решения системы:

1) $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ x + y = 7; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} x^2 + 3xy + y^2 = -1, \\ x^3 + y^3 = 7; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} x^2 - 2xy + y^2 = 25, \\ 2x^2 - 2xy - y^2 = 11. \end{cases} $

1) Дана система уравнений:

$\begin{cases}x^2 + y^2 = 25, \\x + y = 7.\end{cases}$

Это система, состоящая из одного линейного и одного нелинейного уравнения. Для ее решения удобно использовать метод подстановки.

Из второго уравнения выразим переменную $y$ через $x$:

$y = 7 - x$.

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$x^2 + (7 - x)^2 = 25$.

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$x^2 + (49 - 14x + x^2) = 25$.

Приведем подобные слагаемые и получим квадратное уравнение:

$2x^2 - 14x + 49 - 25 = 0$

$2x^2 - 14x + 24 = 0$.

Разделим все члены уравнения на 2 для упрощения:

$x^2 - 7x + 12 = 0$.

Найдем корни этого квадратного уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна 7, а их произведение равно 12. Легко подобрать корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = 4$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя выражение $y = 7 - x$:

Если $x_1 = 3$, то $y_1 = 7 - 3 = 4$.

Если $x_2 = 4$, то $y_2 = 7 - 4 = 3$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(3, 4), (4, 3)$.

2) Дана система уравнений:

$\begin{cases}x^2 + 3xy + y^2 = -1, \\x^3 + y^3 = 7.\end{cases}$

Эта система является симметрической. Для ее решения введем новые переменные: $s = x+y$ (сумма) и $p = xy$ (произведение).

Выразим левые части уравнений через $s$ и $p$, используя известные тождества:

$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = s^2 - 2p$

$x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2) = (x+y)((x+y)^2 - 3xy) = s(s^2 - 3p)$.

Перепишем исходную систему в новых переменных:

Первое уравнение: $x^2 + y^2 + 3xy = (s^2 - 2p) + 3p = s^2 + p = -1$.

Второе уравнение: $x^3 + y^3 = s(s^2 - 3p) = 7$.

Получили систему для $s$ и $p$:

$\begin{cases}s^2 + p = -1, \\s(s^2 - 3p) = 7.\end{cases}$

Из первого уравнения выразим $p$: $p = -1 - s^2$.

Подставим это во второе уравнение:

$s(s^2 - 3(-1 - s^2)) = 7$

$s(s^2 + 3 + 3s^2) = 7$

$s(4s^2 + 3) = 7$

$4s^3 + 3s - 7 = 0$.

Это кубическое уравнение относительно $s$. Попробуем найти целые корни среди делителей свободного члена (-7), то есть ±1, ±7.

Подставим $s=1$: $4(1)^3 + 3(1) - 7 = 4 + 3 - 7 = 0$.

Значит, $s=1$ является корнем. Разделим многочлен $4s^3 + 3s - 7$ на $(s-1)$ и получим $4s^2 + 4s + 7$.

Уравнение можно записать в виде $(s-1)(4s^2 + 4s + 7) = 0$.

Найдем дискриминант квадратного трехчлена $4s^2 + 4s + 7$:

$D = 4^2 - 4 \cdot 4 \cdot 7 = 16 - 112 = -96$.

Так как $D < 0$, уравнение $4s^2 + 4s + 7 = 0$ не имеет действительных корней.

Следовательно, единственное действительное решение для $s$ это $s=1$.

Найдем $p$: $p = -1 - s^2 = -1 - 1^2 = -2$.

Теперь вернемся к переменным $x$ и $y$. Мы имеем систему:

$\begin{cases}x+y = 1, \\xy = -2.\end{cases}$

Согласно обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - st + p = 0$:

$t^2 - t - 2 = 0$.

Корни этого уравнения: $t_1 = 2$ и $t_2 = -1$.

Это означает, что решениями исходной системы являются пары $(2, -1)$ и $(-1, 2)$.

Ответ: $(2, -1), (-1, 2)$.

3) Дана система уравнений:

$\begin{cases}x^2 - 2xy + y^2 = 25, \\2x^2 - 2xy - y^2 = 11.\end{cases}$

Рассмотрим первое уравнение. Левая часть является полным квадратом разности:

$(x - y)^2 = 25$.

Из этого уравнения следует два возможных случая:

1) $x - y = 5$

2) $x - y = -5$

Рассмотрим каждый случай отдельно.

Случай 1: $x - y = 5$.

Выразим $x$: $x = y + 5$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$2(y+5)^2 - 2(y+5)y - y^2 = 11$

$2(y^2 + 10y + 25) - 2(y^2 + 5y) - y^2 = 11$

$2y^2 + 20y + 50 - 2y^2 - 10y - y^2 = 11$

$-y^2 + 10y + 39 = 0$

$y^2 - 10y - 39 = 0$.

Решим это квадратное уравнение по формуле корней:

$y = \frac{10 \pm \sqrt{(-10)^2 - 4(1)(-39)}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 156}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{256}}{2} = \frac{10 \pm 16}{2}$.

Получаем два значения для $y$:

$y_1 = \frac{10+16}{2} = 13$

$y_2 = \frac{10-16}{2} = -3$.

Находим соответствующие значения $x$:

При $y_1=13$, $x_1 = 13 + 5 = 18$.

При $y_2=-3$, $x_2 = -3 + 5 = 2$.

Получили два решения: $(18, 13)$ и $(2, -3)$.

Случай 2: $x - y = -5$.

Выразим $x$: $x = y - 5$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$2(y-5)^2 - 2(y-5)y - y^2 = 11$

$2(y^2 - 10y + 25) - 2(y^2 - 5y) - y^2 = 11$

$2y^2 - 20y + 50 - 2y^2 + 10y - y^2 = 11$

$-y^2 - 10y + 39 = 0$

$y^2 + 10y - 39 = 0$.

Решим это квадратное уравнение:

$y = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 - 4(1)(-39)}}{2} = \frac{-10 \pm \sqrt{100 + 156}}{2} = \frac{-10 \pm \sqrt{256}}{2} = \frac{-10 \pm 16}{2}$.

Получаем еще два значения для $y$:

$y_3 = \frac{-10+16}{2} = 3$

$y_4 = \frac{-10-16}{2} = -13$.

Находим соответствующие значения $x$:

При $y_3=3$, $x_3 = 3 - 5 = -2$.

При $y_4=-13$, $x_4 = -13 - 5 = -18$.

Получили еще два решения: $(-2, 3)$ и $(-18, -13)$.

В итоге система имеет четыре решения.

Ответ: $(18, 13), (2, -3), (-2, 3), (-18, -13)$.