Номер 4, страница 4, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4. Решите неравенство:

1) $(x - 2)(x + 3)(x - 1)^2 > 0;$

2) $(2x - 3)(x + 5)(3x - 1)^3 \le 0;$

3) $|x - 2|(x + 4)(x - 5)^2 \le 0;$

4) $\frac{2}{a + 3} + \frac{1}{a + 1} < \frac{3}{a + 2};$

5) $\frac{2}{a - 2} - \frac{1}{a + 2} > 2;$

6) $\frac{2}{x - 3} - \frac{1}{x + 3} \le \frac{1}{x + 1}.$

1) $(x-2)(x+3)(x-1)^2 \ge 0$

Для решения этого неравенства применим метод интервалов. Сначала найдем корни выражения, приравняв его к нулю: $(x-2)(x+3)(x-1)^2 = 0$.

Корнями уравнения являются $x=-3$, $x=1$ и $x=2$.

Отметим кратность корней. Корень $x=1$ имеет кратность 2 (четная), так как множитель $(x-1)$ находится в квадрате. Это значит, что при переходе через точку $x=1$ знак выражения на числовой оси меняться не будет. Корни $x=-3$ и $x=2$ имеют кратность 1 (нечетная), поэтому при переходе через эти точки знак будет меняться.

Нанесем корни на числовую ось в порядке возрастания: -3, 1, 2. Они разбивают ось на интервалы. Определим знак выражения на крайнем правом интервале $(2, \infty)$, взяв пробную точку, например $x=10$: $(10-2)(10+3)(10-1)^2 = 8 \cdot 13 \cdot 9^2 > 0$. Знак «+».

Теперь расставим знаки на остальных интервалах, двигаясь справа налево:

- на $(2, \infty)$ знак «+»

- при переходе через $x=2$ (нечетная кратность) знак меняется на «-». Интервал $(1, 2)$ имеет знак «-».

- при переходе через $x=1$ (четная кратность) знак не меняется. Интервал $(-3, 1)$ также имеет знак «-».

- при переходе через $x=-3$ (нечетная кратность) знак меняется на «+». Интервал $(-\infty, -3)$ имеет знак «+».

Нам нужно найти значения $x$, при которых выражение больше или равно нулю ($\ge 0$). Это происходит на интервалах, где стоит знак «+», а также в точках, где выражение равно нулю. Выражение равно нулю в точках $x=-3, x=1, x=2$.

Объединяя интервалы со знаком «+» и точки, где выражение равно нулю, получаем решение.

Ответ: $x \in (-\infty, -3] \cup \{1\} \cup [2, \infty)$.

2) $(2x-3)(x+5)(3x-1)^3 \le 0$

Решаем методом интервалов. Находим корни: $2x-3=0 \Rightarrow x=3/2$; $x+5=0 \Rightarrow x=-5$; $3x-1=0 \Rightarrow x=1/3$.

Все корни ($x=-5, x=1/3, x=3/2$) имеют нечетную кратность (1, 1 и 3 соответственно), поэтому при переходе через каждую из этих точек на числовой оси знак выражения будет меняться.

Нанесем корни на числовую ось в порядке возрастания: -5, 1/3, 3/2.

Определим знак на крайнем правом интервале $(3/2, \infty)$, взяв $x=2$: $(2\cdot2-3)(2+5)(3\cdot2-1)^3 = 1 \cdot 7 \cdot 5^3 > 0$. Знак «+».

Расставляем знаки, двигаясь справа налево: $(-\infty, -5) \rightarrow -$; $(-5, 1/3) \rightarrow +$; $(1/3, 3/2) \rightarrow -$; $(3/2, \infty) \rightarrow +$.

Нам нужны значения $x$, при которых выражение меньше или равно нулю ($\le 0$). Это интервалы со знаком «-» и точки, где выражение равно нулю.

Ответ: $x \in (-\infty, -5] \cup [1/3, 3/2]$.

3) $|x-2|(x+4)(x-5)^2 \le 0$

Проанализируем множители. Множитель $|x-2|$ всегда неотрицателен ($|x-2| \ge 0$). Множитель $(x-5)^2$ также всегда неотрицателен ($(x-5)^2 \ge 0$).

Произведение трех множителей будет меньше или равно нулю, если:

1. Произведение равно нулю. Это происходит, когда хотя бы один из множителей равен нулю: $|x-2|=0 \Rightarrow x=2$; $x+4=0 \Rightarrow x=-4$; $(x-5)^2=0 \Rightarrow x=5$. Все эти три значения являются решениями.

2. Произведение строго меньше нуля. Так как первые два множителя ($|x-2|$ и $(x-5)^2$) неотрицательны, для отрицательности всего произведения необходимо, чтобы третий множитель был отрицателен, а первые два не равнялись нулю. То есть: $x+4 < 0$ и $x \ne 2$ и $x \ne 5$. Из $x+4 < 0$ следует $x < -4$. Это условие уже исключает $x=2$ и $x=5$.

Объединяем полученные результаты: $x < -4$ или $x=-4$ (что дает $x \le -4$), а также изолированные точки $x=2$ и $x=5$.

Ответ: $x \in (-\infty, -4] \cup \{2, 5\}$.

4) $\frac{2}{a+3} + \frac{1}{a+1} < \frac{3}{a+2}$

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем к общему знаменателю: $\frac{2}{a+3} + \frac{1}{a+1} - \frac{3}{a+2} < 0$.

Общий знаменатель: $(a+3)(a+1)(a+2)$.

$\frac{2(a+1)(a+2) + 1(a+3)(a+2) - 3(a+3)(a+1)}{(a+3)(a+1)(a+2)} < 0$

Раскроем скобки в числителе: $\frac{2(a^2+3a+2) + (a^2+5a+6) - 3(a^2+4a+3)}{(a+3)(a+1)(a+2)} < 0$.

$\frac{2a^2+6a+4 + a^2+5a+6 - 3a^2-12a-9}{(a+3)(a+1)(a+2)} < 0$

Приведем подобные слагаемые в числителе: $\frac{(2+1-3)a^2 + (6+5-12)a + (4+6-9)}{(a+3)(a+1)(a+2)} < 0$.

$\frac{-a+1}{(a+3)(a+1)(a+2)} < 0$

Решаем методом интервалов. Корни числителя: $a=1$. Корни знаменателя: $a=-3, a=-1, a=-2$.

Наносим точки -3, -2, -1, 1 на числовую ось. Все корни имеют нечетную кратность.

Проверяем знак на интервале $(1, \infty)$, взяв $a=2$: $\frac{-2+1}{(2+3)(2+1)(2+2)} = \frac{-1}{5 \cdot 3 \cdot 4} < 0$. Знак «-».

Знаки на интервалах: $(-\infty, -3) \rightarrow -$; $(-3, -2) \rightarrow +$; $(-2, -1) \rightarrow -$; $(-1, 1) \rightarrow +$; $(1, \infty) \rightarrow -$.

Нам нужны интервалы со знаком «-». Так как неравенство строгое, точки в ответ не включаются.

Ответ: $a \in (-\infty, -3) \cup (-2, -1) \cup (1, \infty)$.

5) $\frac{2}{a-2} - \frac{1}{a+2} > 2$

Перенесем 2 в левую часть и приведем к общему знаменателю $(a-2)(a+2)=a^2-4$:

$\frac{2(a+2) - 1(a-2) - 2(a^2-4)}{(a-2)(a+2)} > 0$

$\frac{2a+4 - a+2 - 2a^2+8}{(a-2)(a+2)} > 0$

$\frac{-2a^2+a+14}{(a-2)(a+2)} > 0$

Умножим неравенство на -1, изменив знак на противоположный: $\frac{2a^2-a-14}{(a-2)(a+2)} < 0$.

Найдем корни числителя $2a^2-a-14=0$. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-14) = 1 + 112 = 113$. Корни: $a_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{113}}{4}$.

Корни знаменателя: $a=-2$ и $a=2$.

Сравним корни. $\sqrt{100} < \sqrt{113} < \sqrt{121}$, т.е. $10 < \sqrt{113} < 11$.

$a_1 = \frac{1-\sqrt{113}}{4} \approx \frac{1-10.6}{4} \approx -2.4$. Этот корень меньше -2.

$a_2 = \frac{1+\sqrt{113}}{4} \approx \frac{1+10.6}{4} \approx 2.9$. Этот корень больше 2.

Наносим точки на ось в порядке: $\frac{1-\sqrt{113}}{4}$, -2, 2, $\frac{1+\sqrt{113}}{4}$.

Определяем знаки для выражения $\frac{2a^2-a-14}{(a-2)(a+2)}$. При $a=3$ выражение $\frac{2(9)-3-14}{(3-2)(3+2)} = \frac{1}{5} > 0$. Знак «+».

Знаки на интервалах: $(-\infty, \frac{1-\sqrt{113}}{4}) \rightarrow +$; $(\frac{1-\sqrt{113}}{4}, -2) \rightarrow -$; $(-2, 2) \rightarrow +$; $(2, \frac{1+\sqrt{113}}{4}) \rightarrow -$; $(\frac{1+\sqrt{113}}{4}, \infty) \rightarrow +$.

Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля («-»).

Ответ: $a \in (\frac{1 - \sqrt{113}}{4}, -2) \cup (2, \frac{1 + \sqrt{113}}{4})$.

6) $\frac{2}{x-3} - \frac{1}{x+3} \le \frac{1}{x+1}$

Перенесем все в левую часть: $\frac{2}{x-3} - \frac{1}{x+3} - \frac{1}{x+1} \le 0$.

Общий знаменатель $(x-3)(x+3)(x+1)$.

$\frac{2(x+3)(x+1) - 1(x-3)(x+1) - 1(x-3)(x+3)}{(x-3)(x+3)(x+1)} \le 0$

$\frac{2(x^2+4x+3) - (x^2-2x-3) - (x^2-9)}{(x-3)(x+3)(x+1)} \le 0$

$\frac{2x^2+8x+6 - x^2+2x+3 - x^2+9}{(x-3)(x+3)(x+1)} \le 0$

$\frac{10x+18}{(x-3)(x+3)(x+1)} \le 0$

Метод интервалов. Корень числителя: $10x+18=0 \Rightarrow x = -1.8$ или $x = -9/5$.

Корни знаменателя: $x=3, x=-3, x=-1$.

Наносим точки на ось: -3, -1.8, -1, 3.

Проверяем знак на $(3, \infty)$, взяв $x=4$: $\frac{10(4)+18}{(4-3)(4+3)(4+1)} > 0$. Знак «+».

Знаки на интервалах: $(-\infty, -3) \rightarrow +$; $(-3, -1.8) \rightarrow -$; $(-1.8, -1) \rightarrow +$; $(-1, 3) \rightarrow -$; $(3, \infty) \rightarrow +$.

Нам нужны интервалы со знаком «-» и точка, где числитель равен нулю. Корень числителя $x=-1.8$ включаем, корни знаменателя исключаем.

Ответ: $x \in (-3, -1.8] \cup (-1, 3)$.