Номер 3, страница 4, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3. Найдите корни уравнения:

1) $1 - \frac{x}{x+2} = \frac{x}{x-3};$

2) $x^2 + \frac{1-3x}{x+4} = 16 - \frac{3x-1}{x+4};$

3) $\frac{36}{x^2 - 12x} - \frac{3}{x-12} = 3;$

4) $\frac{5}{2x+3} + \frac{3-2x}{x+2} = 10;$

5) $\frac{12}{x^2+2x} - \frac{3}{x^2+2x-2} = 1;$

6) $\frac{16}{x^2+5x-6} - \frac{20}{x^2+5x+6} = 1.$

1) $1 - \frac{x}{x+2} = \frac{x}{x-3}$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю, поэтому $x+2 \neq 0$ и $x-3 \neq 0$. Отсюда $x \neq -2$ и $x \neq 3$.

Перенесем все члены уравнения в одну сторону: $1 - \frac{x}{x+2} - \frac{x}{x-3} = 0$.

Приведем все члены к общему знаменателю $(x+2)(x-3)$:

$\frac{(x+2)(x-3)}{(x+2)(x-3)} - \frac{x(x-3)}{(x+2)(x-3)} - \frac{x(x+2)}{(x+2)(x-3)} = 0$

Так как знаменатель не равен нулю (согласно ОДЗ), мы можем приравнять числитель к нулю:

$(x+2)(x-3) - x(x-3) - x(x+2) = 0$

Раскроем скобки:

$(x^2 - 3x + 2x - 6) - (x^2 - 3x) - (x^2 + 2x) = 0$

$x^2 - x - 6 - x^2 + 3x - x^2 - 2x = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - x^2 - x^2) + (-x + 3x - 2x) - 6 = 0$

$-x^2 - 6 = 0$

$x^2 = -6$

Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

Ответ: корней нет.

2) $x^2 + \frac{1-3x}{x+4} = 16 - \frac{3x-1}{x+4}$

ОДЗ: $x+4 \neq 0$, следовательно, $x \neq -4$.

Перенесем члены с переменной в левую часть уравнения:

$x^2 + \frac{1-3x}{x+4} + \frac{3x-1}{x+4} = 16$

Сложим дроби с одинаковым знаменателем:

$x^2 + \frac{1-3x+3x-1}{x+4} = 16$

$x^2 + \frac{0}{x+4} = 16$

Поскольку $x \neq -4$, дробь $\frac{0}{x+4}$ равна 0. Уравнение упрощается до:

$x^2 = 16$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $x_2 = -4$ не удовлетворяет условию $x \neq -4$, поэтому является посторонним. Корень $x_1 = 4$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 4.

3) $\frac{36}{x^2-12x} - \frac{3}{x-12} = 3$

Разложим знаменатель первой дроби на множители: $x^2 - 12x = x(x-12)$.

ОДЗ: $x(x-12) \neq 0$ и $x-12 \neq 0$. Отсюда $x \neq 0$ и $x \neq 12$.

Перепишем уравнение:

$\frac{36}{x(x-12)} - \frac{3}{x-12} = 3$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $x(x-12)$:

$36 - 3x = 3x(x-12)$

$36 - 3x = 3x^2 - 36x$

Перенесем все члены в правую часть:

$3x^2 - 36x + 3x - 36 = 0$

$3x^2 - 33x - 36 = 0$

Разделим уравнение на 3:

$x^2 - 11x - 12 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 11, а произведение равно -12. Корни: $x_1 = 12$ и $x_2 = -1$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $x_1 = 12$ не удовлетворяет условию $x \neq 12$, поэтому является посторонним. Корень $x_2 = -1$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: -1.

4) $\frac{5}{2x+3} + \frac{3-2x}{x+2} = 10$

ОДЗ: $2x+3 \neq 0$ и $x+2 \neq 0$. Отсюда $x \neq -\frac{3}{2}$ и $x \neq -2$.

Приведем дроби к общему знаменателю $(2x+3)(x+2)$ и умножим на него обе части уравнения:

$5(x+2) + (3-2x)(2x+3) = 10(2x+3)(x+2)$

Раскроем скобки:

$5x + 10 + (6x + 9 - 4x^2 - 6x) = 10(2x^2 + 4x + 3x + 6)$

$5x + 10 + 9 - 4x^2 = 10(2x^2 + 7x + 6)$

$-4x^2 + 5x + 19 = 20x^2 + 70x + 60$

Перенесем все члены в правую часть:

$20x^2 + 70x + 60 + 4x^2 - 5x - 19 = 0$

$24x^2 + 65x + 41 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 65^2 - 4 \cdot 24 \cdot 41 = 4225 - 3936 = 289 = 17^2$

$x_1 = \frac{-65 + 17}{2 \cdot 24} = \frac{-48}{48} = -1$

$x_2 = \frac{-65 - 17}{2 \cdot 24} = \frac{-82}{48} = -\frac{41}{24}$

Оба корня, $x_1 = -1$ и $x_2 = -\frac{41}{24}$, удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: -1; $-\frac{41}{24}$.

5) $\frac{12}{x^2+2x} - \frac{3}{x^2+2x-2} = 1$

Введем замену переменной. Пусть $y = x^2+2x$. Уравнение примет вид:

$\frac{12}{y} - \frac{3}{y-2} = 1$

ОДЗ для $y$: $y \neq 0$ и $y \neq 2$.

Умножим обе части на общий знаменатель $y(y-2)$:

$12(y-2) - 3y = y(y-2)$

$12y - 24 - 3y = y^2 - 2y$

$9y - 24 = y^2 - 2y$

$y^2 - 11y + 24 = 0$

По теореме Виета, $y_1 = 3$, $y_2 = 8$. Оба значения удовлетворяют ОДЗ для $y$.

Выполним обратную замену.

Случай 1: $y = 3$

$x^2 + 2x = 3 \Rightarrow x^2 + 2x - 3 = 0$. Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -3$.

Случай 2: $y = 8$

$x^2 + 2x = 8 \Rightarrow x^2 + 2x - 8 = 0$. Корни: $x_3 = 2$, $x_4 = -4$.

Проверим ОДЗ для $x$. Знаменатели исходного уравнения $x^2+2x$ и $x^2+2x-2$ не должны быть равны нулю. Это соответствует $y \neq 0$ и $y-2 \neq 0$, что мы уже учли. Все найденные корни $1, -3, 2, -4$ являются решениями.

Ответ: -4; -3; 1; 2.

6) $\frac{16}{x^2+5x-6} - \frac{20}{x^2+5x+6} = 1$

Введем замену переменной. Пусть $y = x^2+5x$. Уравнение примет вид:

$\frac{16}{y-6} - \frac{20}{y+6} = 1$

ОДЗ для $y$: $y \neq 6$ и $y \neq -6$.

Умножим обе части на общий знаменатель $(y-6)(y+6) = y^2-36$:

$16(y+6) - 20(y-6) = y^2-36$

$16y + 96 - 20y + 120 = y^2 - 36$

$-4y + 216 = y^2 - 36$

$y^2 + 4y - 252 = 0$

Решим квадратное уравнение относительно $y$:

$D = 4^2 - 4(1)(-252) = 16 + 1008 = 1024 = 32^2$

$y_1 = \frac{-4+32}{2} = 14$

$y_2 = \frac{-4-32}{2} = -18$

Оба значения удовлетворяют ОДЗ для $y$.

Выполним обратную замену.

Случай 1: $y = 14$

$x^2 + 5x = 14 \Rightarrow x^2 + 5x - 14 = 0$. По теореме Виета, корни: $x_1 = 2$, $x_2 = -7$.

Случай 2: $y = -18$

$x^2 + 5x = -18 \Rightarrow x^2 + 5x + 18 = 0$. Дискриминант $D = 5^2 - 4(1)(18) = 25 - 72 = -47 < 0$. В этом случае действительных корней нет.

Проверим ОДЗ для $x$. Знаменатели $x^2+5x-6$ и $x^2+5x+6$ не равны нулю. Это соответствует $y \neq 6$ и $y \neq -6$, что было учтено. Найденные корни $2$ и $-7$ являются решениями.

Ответ: -7; 2.