Номер 6, страница 5, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

6. Найдите наибольшее натуральное число, удовлетворяющее неравенству:

1) $(3-x)(x-8)^2 > 0;$

2) $(x-3)^2 (x-11) \le 0;$

3) $(2x-2.5)^2 (3x-13)^3 < 0;$

4) $\frac{x^2 - 81}{x + 5} < 0;$

5) $\frac{15x - x^2}{x - 5.5} \ge 0;$

6) $\frac{11x - x^2}{x + 6} > 0.$

1) Решим неравенство $(3-x)(x-8)^2 > 0$.

Выражение $(x-8)^2$ всегда неотрицательно, то есть $(x-8)^2 \ge 0$. Так как неравенство строгое, то $(x-8)^2$ не может быть равно нулю, следовательно, $x \neq 8$.

При $x \neq 8$ выражение $(x-8)^2$ всегда положительно. Значит, знак всего произведения зависит от знака множителя $(3-x)$.

Для выполнения неравенства необходимо, чтобы $3-x > 0$.

Решая это простое неравенство, получаем $x < 3$.

Таким образом, решение неравенства — это все числа, удовлетворяющие условиям $x < 3$ и $x \neq 8$. Условие $x \neq 8$ уже включено в условие $x < 3$.

Решением является интервал $(-\infty; 3)$.

Натуральные числа, входящие в этот интервал: 1, 2. Наибольшее из них — 2.

Ответ: 2

2) Решим неравенство $(x-3)^2(x-11) \le 0$.

Выражение $(x-3)^2$ всегда неотрицательно. Рассмотрим два случая:

Случай 1: $(x-3)^2(x-11) = 0$. Это возможно, если $(x-3)^2 = 0$ или $x-11 = 0$. Отсюда получаем корни $x=3$ и $x=11$. Оба этих числа являются решениями.

Случай 2: $(x-3)^2(x-11) < 0$. Так как $(x-3)^2 \ge 0$, это неравенство выполняется, только если $(x-3)^2 > 0$ и $x-11 < 0$.

Условие $(x-3)^2 > 0$ означает, что $x \neq 3$.

Условие $x-11 < 0$ означает, что $x < 11$.

Объединяя условия из второго случая, получаем $x < 11$ и $x \neq 3$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем, что решением неравенства является множество $(-\infty; 11]$.

Натуральные числа, входящие в это множество: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11. Наибольшее из них — 11.

Ответ: 11

3) Решим неравенство $(2x-2,5)^2(3x-13)^3 < 0$.

Выражение $(2x-2,5)^2$ всегда неотрицательно. Так как неравенство строгое, то $(2x-2,5)^2$ не может быть равно нулю, следовательно, $2x-2,5 \neq 0$, то есть $x \neq 1,25$.

При $x \neq 1,25$ множитель $(2x-2,5)^2$ всегда положителен. Значит, знак всего произведения определяется знаком множителя $(3x-13)^3$.

Знак выражения в нечетной степени совпадает со знаком основания, поэтому нам нужно, чтобы $3x-13 < 0$.

Решаем неравенство: $3x < 13$, откуда $x < \frac{13}{3}$.

Так как $\frac{13}{3} = 4\frac{1}{3}$, то решение неравенства — это $x < 4\frac{1}{3}$ при условии $x \neq 1,25$.

Решением является объединение интервалов $(-\infty; 1,25) \cup (1,25; 4\frac{1}{3})$.

Натуральные числа, входящие в это множество: 1, 2, 3, 4. Наибольшее из них — 4.

Ответ: 4

4) Решим неравенство $\frac{x^2 - 81}{x+5} < 0$.

Разложим числитель на множители: $\frac{(x-9)(x+9)}{x+5} < 0$.

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя: $x=9, x=-9, x=-5$.

Наносим эти точки на числовую прямую и определяем знаки на полученных интервалах:

$(-\infty; -9)$: знак `–`

$(-9; -5)$: знак `+`

$(-5; 9)$: знак `–`

$(9; \infty)$: знак `+`

Нас интересуют интервалы со знаком `–`. Решением является объединение интервалов $(-\infty; -9) \cup (-5; 9)$.

Натуральные числа содержатся только в интервале $(-5; 9)$. Это числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Наибольшее из них — 8.

Ответ: 8

5) Решим неравенство $\frac{15x - x^2}{x - 5,5} \ge 0$.

Разложим числитель на множители: $\frac{x(15-x)}{x-5,5} \ge 0$.

Чтобы было удобнее работать, умножим неравенство на -1 и поменяем знак: $\frac{x(x-15)}{x-5,5} \le 0$.

Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $x=0, x=15, x=5,5$.

Наносим эти точки на числовую прямую и определяем знаки на полученных интервалах:

$(-\infty; 0)$: знак `–`

$(0; 5,5)$: знак `+`

$(5,5; 15)$: знак `–`

$(15; \infty)$: знак `+`

Нас интересуют интервалы со знаком `–`. Это $(-\infty; 0)$ и $(5,5; 15)$.

Так как неравенство нестрогое ($\le$), включаем нули числителя: $x=0$ и $x=15$. Нуль знаменателя $x=5,5$ исключаем.

Решением является объединение $(-\infty; 0] \cup (5,5; 15]$.

Натуральные числа содержатся только в промежутке $(5,5; 15]$. Это числа: 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15. Наибольшее из них — 15.

Ответ: 15

6) Решим неравенство $\frac{11x - x^2}{x+6} > 0$.

Разложим числитель на множители: $\frac{x(11-x)}{x+6} > 0$.

Умножим неравенство на -1 и поменяем знак: $\frac{x(x-11)}{x+6} < 0$.

Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $x=0, x=11, x=-6$.

Наносим эти точки на числовую прямую и определяем знаки на полученных интервалах:

$(-\infty; -6)$: знак `–`

$(-6; 0)$: знак `+`

$(0; 11)$: знак `–`

$(11; \infty)$: знак `+`

Нас интересуют интервалы со знаком `–`. Так как неравенство строгое, концы интервалов не включаются.

Решением является объединение интервалов $(-\infty; -6) \cup (0; 11)$.

Натуральные числа содержатся только в интервале $(0; 11)$. Это числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Наибольшее из них — 10.

Ответ: 10