Номер 9, страница 5, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

9. Способом алгебраического сложения решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 7, \\ 3x^2 - y^2 = 9; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 2x^2 - 1 = y^2, \\ 3y^2 = 2x^2 - 1; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 + y^2 - 10 = 0, \\ xy - 3 = 0; \end{cases}$

4) $\begin{cases} xy = \frac{1}{8}, \\ 2x^2 + 2y^2 = \frac{5}{8}; \end{cases}$

5) $\begin{cases} x^2 + 2y^2 + 1 = 27, \\ 3x^2 - y^2 = 1; \end{cases}$

6) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 2x, \\ x^2 - 2xy + 1 = 0. \end{cases}$

1) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 7 \\ 3x^2 - y^2 = 9 \end{cases} $

Сложим почленно первое и второе уравнения системы. Коэффициенты при $y^2$ являются противоположными числами ($1$ и $-1$), поэтому эта переменная сократится.

$(x^2 + y^2) + (3x^2 - y^2) = 7 + 9$

$x^2 + 3x^2 = 16$

$4x^2 = 16$

Разделим обе части на 4:

$x^2 = 4$

Отсюда находим два возможных значения для $x$: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Теперь подставим значение $x^2 = 4$ в первое уравнение исходной системы ($x^2 + y^2 = 7$), чтобы найти $y$.

$4 + y^2 = 7$

$y^2 = 7 - 4$

$y^2 = 3$

Отсюда находим два возможных значения для $y$: $y_1 = \sqrt{3}$ и $y_2 = -\sqrt{3}$.

Каждое значение $x$ может сочетаться с каждым значением $y$. Таким образом, получаем четыре пары решений.

Ответ: $(2, \sqrt{3})$, $(2, -\sqrt{3})$, $(-2, \sqrt{3})$, $(-2, -\sqrt{3})$.

2) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2x^2 - 1 = y^2 \\ 3y^2 = 2x^2 - 1 \end{cases} $

Для удобства приведем уравнения к стандартному виду, перенеся переменные в левую часть, а константы — в правую.

$ \begin{cases} 2x^2 - y^2 = 1 \\ -2x^2 + 3y^2 = -1 \end{cases} $

Сложим почленно полученные уравнения. Коэффициенты при $x^2$ являются противоположными числами ($2$ и $-2$).

$(2x^2 - y^2) + (-2x^2 + 3y^2) = 1 + (-1)$

$-y^2 + 3y^2 = 0$

$2y^2 = 0$

$y^2 = 0 \implies y = 0$

Подставим значение $y^2 = 0$ в первое исходное уравнение ($2x^2 - 1 = y^2$):

$2x^2 - 1 = 0$

$2x^2 = 1$

$x^2 = \frac{1}{2}$

Отсюда находим два возможных значения для $x$: $x_1 = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $x_2 = -\sqrt{\frac{1}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Таким образом, получаем две пары решений.

Ответ: $(\frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$, $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$.

3) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 - 10 = 0 \\ xy - 3 = 0 \end{cases} $

Перепишем систему в более удобном виде:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 10 \\ xy = 3 \end{cases} $

Этот тип систем удобно решать, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности. Умножим второе уравнение на 2:

$2xy = 6$

Теперь сложим это уравнение с первым уравнением системы:

$x^2 + y^2 + 2xy = 10 + 6$

$(x + y)^2 = 16$

Отсюда получаем два варианта: $x + y = 4$ или $x + y = -4$.

Далее, вычтем уравнение $2xy=6$ из первого уравнения системы:

$x^2 + y^2 - 2xy = 10 - 6$

$(x - y)^2 = 4$

Отсюда получаем два варианта: $x - y = 2$ или $x - y = -2$.

Теперь решим четыре системы линейных уравнений:

А) $ \begin{cases} x + y = 4 \\ x - y = 2 \end{cases} $ Складывая уравнения, получаем $2x=6 \implies x=3$. Тогда $3+y=4 \implies y=1$. Решение: $(3, 1)$.

Б) $ \begin{cases} x + y = 4 \\ x - y = -2 \end{cases} $ Складывая уравнения, получаем $2x=2 \implies x=1$. Тогда $1+y=4 \implies y=3$. Решение: $(1, 3)$.

В) $ \begin{cases} x + y = -4 \\ x - y = 2 \end{cases} $ Складывая уравнения, получаем $2x=-2 \implies x=-1$. Тогда $-1+y=-4 \implies y=-3$. Решение: $(-1, -3)$.

Г) $ \begin{cases} x + y = -4 \\ x - y = -2 \end{cases} $ Складывая уравнения, получаем $2x=-6 \implies x=-3$. Тогда $-3+y=-4 \implies y=-1$. Решение: $(-3, -1)$.

Ответ: $(3, 1)$, $(1, 3)$, $(-1, -3)$, $(-3, -1)$.

4) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} xy = \frac{1}{8} \\ 2x^2 + 2y^2 = \frac{5}{8} \end{cases} $

Разделим второе уравнение на 2:

$x^2 + y^2 = \frac{5}{16}$

Умножим первое уравнение на 2:

$2xy = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

Теперь у нас есть система, аналогичная предыдущей:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = \frac{5}{16} \\ 2xy = \frac{1}{4} \end{cases} $

Сложим эти два уравнения:

$x^2 + 2xy + y^2 = \frac{5}{16} + \frac{1}{4} = \frac{5}{16} + \frac{4}{16} = \frac{9}{16}$

$(x+y)^2 = \frac{9}{16} \implies x+y = \pm\frac{3}{4}$

Вычтем второе уравнение из первого:

$x^2 - 2xy + y^2 = \frac{5}{16} - \frac{1}{4} = \frac{5}{16} - \frac{4}{16} = \frac{1}{16}$

$(x-y)^2 = \frac{1}{16} \implies x-y = \pm\frac{1}{4}$

Решим четыре системы линейных уравнений:

А) $ \begin{cases} x+y = \frac{3}{4} \\ x-y = \frac{1}{4} \end{cases} $ Сложив, получаем $2x=1 \implies x=\frac{1}{2}$. Тогда $y=\frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$. Решение: $(\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$.

Б) $ \begin{cases} x+y = \frac{3}{4} \\ x-y = -\frac{1}{4} \end{cases} $ Сложив, получаем $2x=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} \implies x=\frac{1}{4}$. Тогда $y=\frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4}=\frac{1}{2}$. Решение: $(\frac{1}{4}, \frac{1}{2})$.

В) $ \begin{cases} x+y = -\frac{3}{4} \\ x-y = \frac{1}{4} \end{cases} $ Сложив, получаем $2x=-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2} \implies x=-\frac{1}{4}$. Тогда $y=-\frac{3}{4} - (-\frac{1}{4}) = -\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}$. Решение: $(-\frac{1}{4}, -\frac{1}{2})$.

Г) $ \begin{cases} x+y = -\frac{3}{4} \\ x-y = -\frac{1}{4} \end{cases} $ Сложив, получаем $2x=-1 \implies x=-\frac{1}{2}$. Тогда $y=-\frac{3}{4} - (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{4}$. Решение: $(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{4})$.

Ответ: $(\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$, $(\frac{1}{4}, \frac{1}{2})$, $(-\frac{1}{4}, -\frac{1}{2})$, $(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{4})$.

5) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + 2y^2 + 1 = 27 \\ 3x^2 - y^2 = 1 \end{cases} $

Перепишем первое уравнение, перенеся 1 в правую часть:

$ \begin{cases} x^2 + 2y^2 = 26 \\ 3x^2 - y^2 = 1 \end{cases} $

Чтобы исключить $y^2$, умножим второе уравнение на 2:

$2 \cdot (3x^2 - y^2) = 2 \cdot 1 \implies 6x^2 - 2y^2 = 2$

Теперь система выглядит так:

$ \begin{cases} x^2 + 2y^2 = 26 \\ 6x^2 - 2y^2 = 2 \end{cases} $

Сложим эти два уравнения:

$(x^2 + 2y^2) + (6x^2 - 2y^2) = 26 + 2$

$7x^2 = 28$

$x^2 = 4$

Отсюда $x = \pm 2$.

Подставим $x^2 = 4$ во второе исходное уравнение ($3x^2 - y^2 = 1$):

$3(4) - y^2 = 1$

$12 - y^2 = 1$

$y^2 = 11$

Отсюда $y = \pm \sqrt{11}$.

Комбинируя значения, получаем четыре решения.

Ответ: $(2, \sqrt{11})$, $(2, -\sqrt{11})$, $(-2, \sqrt{11})$, $(-2, -\sqrt{11})$.

6) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 2x \\ x^2 - 2xy + 1 = 0 \end{cases} $

Перенесем $2x$ в левую часть в первом уравнении:

$ \begin{cases} x^2 - 2x + y^2 = 0 \\ x^2 - 2xy + 1 = 0 \end{cases} $

Сложим эти два уравнения:

$(x^2 - 2x + y^2) + (x^2 - 2xy + 1) = 0 + 0$

$2x^2 - 2x - 2xy + y^2 + 1 = 0$

Сгруппируем слагаемые, чтобы выделить полные квадраты:

$(x^2 - 2x + 1) + (x^2 - 2xy + y^2) = 0$

Теперь левая часть представляет собой сумму двух квадратов:

$(x - 1)^2 + (x - y)^2 = 0$

Сумма двух неотрицательных выражений (квадратов) равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из этих выражений равно нулю.

Получаем систему из двух простых уравнений:

$ \begin{cases} x - 1 = 0 \\ x - y = 0 \end{cases} $

Из первого уравнения находим $x = 1$.

Подставляем это значение во второе уравнение: $1 - y = 0 \implies y = 1$.

Система имеет единственное решение.

Ответ: $(1, 1)$.