Номер 16, страница 6, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

*16. Покажите штриховкой множество точек координатной плоскости, заданных системой неравенств:

1) $ \begin{cases} |x| \ge 5, \\ y + 2x > 4; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} y^2 + x^2 - 16 < 0, \\ y - |x| < 0; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} |x| \le 1, \\ x^2 + y^2 - 9 \le 0. \end{cases} $

1) Рассмотрим систему неравенств:

$ \begin{cases} |x| \ge 5, \\ y + 2x > 4; \end{cases} $

Первое неравенство $|x| \ge 5$ равносильно совокупности двух неравенств: $x \ge 5$ или $x \le -5$. На координатной плоскости это множество точек, расположенных правее или на прямой $x=5$ и левее или на прямой $x=-5$. Границы $x=5$ и $x=-5$ являются сплошными линиями, так как неравенство нестрогое.

Второе неравенство $y + 2x > 4$ преобразуем к виду $y > -2x + 4$. Это множество точек, лежащих выше прямой $y = -2x + 4$. Прямая строится по двум точкам, например, (0, 4) и (2, 0). Так как неравенство строгое, граница $y = -2x + 4$ изображается пунктирной линией.

Решением системы является пересечение этих двух множеств. Это область плоскости, расположенная одновременно в двух полуплоскостях ($x \le -5$ и $x \ge 5$) и над прямой $y = -2x + 4$.

Ответ: Искомое множество точек — это часть полуплоскости $y > -2x+4$, для которой выполняется условие $x \le -5$ или $x \ge 5$. Границы $x=-5$ и $x=5$ входят в решение, а граница $y=-2x+4$ — не входит.

2) Рассмотрим систему неравенств:

$ \begin{cases} y^2 + x^2 - 16 < 0, \\ y - |x| < 0; \end{cases} $

Первое неравенство $y^2 + x^2 - 16 < 0$ можно переписать в виде $x^2 + y^2 < 4^2$. Это неравенство задает внутреннюю область круга с центром в начале координат (0, 0) и радиусом 4. Так как неравенство строгое, сама окружность $x^2 + y^2 = 16$ не входит в решение и изображается пунктирной линией.

Второе неравенство $y - |x| < 0$ преобразуем к виду $y < |x|$. Графиком функции $y = |x|$ являются две биссектрисы первого и второго координатных углов, образующие "галочку" с вершиной в начале координат. Неравенство $y < |x|$ задает область под этим графиком. Граница $y = |x|$ не включается в решение, так как неравенство строгое, и изображается пунктирными линиями ($y=x$ при $x \ge 0$ и $y=-x$ при $x < 0$).

Решением системы является пересечение этих двух областей: часть круга радиусом 4, расположенная ниже графика $y = |x|$.

Ответ: Искомое множество — это точки внутри окружности $x^2+y^2=16$, которые находятся ниже графика $y=|x|$. Границы множества не включаются.

3) Рассмотрим систему неравенств:

$ \begin{cases} |x| \le 1, \\ x^2 + y^2 - 9 \le 0. \end{cases} $

Первое неравенство $|x| \le 1$ равносильно двойному неравенству $-1 \le x \le 1$. Оно задает вертикальную полосу на координатной плоскости, заключенную между прямыми $x = -1$ и $x = 1$. Так как неравенство нестрогое, сами прямые включаются в решение и изображаются сплошными линиями.

Второе неравенство $x^2 + y^2 - 9 \le 0$ можно переписать в виде $x^2 + y^2 \le 3^2$. Это неравенство задает круг с центром в начале координат (0, 0) и радиусом 3, включая его границу — окружность $x^2 + y^2 = 9$. Граница изображается сплошной линией, так как неравенство нестрогое.

Решением системы является пересечение этих двух множеств. Это часть круга радиусом 3 (включая границу), которая находится внутри вертикальной полосы от $x=-1$ до $x=1$ (включая границы).

Ответ: Искомое множество — это часть круга $x^2+y^2 \le 9$, заключенная между вертикальными прямыми $x=-1$ и $x=1$. Все границы (часть окружности и отрезки прямых) включаются в решение.