Номер 19, страница 7, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

19. 1) Из пунктов А и В, длина пути между которыми равна 50 км, одновременно вышли навстречу друг другу два туриста. Через 5 ч они встретились. После встречи турист, идущий из пункта А в пункт В, уменьшил скорость на 1 км/ч, второй — увеличил скорость на 1 км/ч. Первый турист прибыл в пункт В на 2 ч раньше, чем второй турист в пункт А. Найдите первоначальную скорость каждого туриста.

2) Двое рабочих могут выполнить задание за 12 часов. Если половину задания будет выполнять один рабочий, затем вторую половину — другой, то задание будет выполнено за 25 часов. За сколько часов выполнит задание каждый рабочий?

3) По окружности длиной в 60 м в одном направлении движутся две точки. Одна делает полный оборот на 5 с быстрее другой и при этом догоняет вторую точку через каждые 60 с. Найдите скорость каждой точки.

1) Пусть $v_1$ км/ч — первоначальная скорость первого туриста (из пункта А), а $v_2$ км/ч — первоначальная скорость второго туриста (из пункта В). Расстояние между пунктами $S = 50$ км. Туристы движутся навстречу друг другу, поэтому их скорость сближения равна $v_1 + v_2$. Они встретились через $t = 5$ часов.

Составим первое уравнение, используя формулу пути $S = v \cdot t$:

$ (v_1 + v_2) \cdot 5 = 50 $

$ v_1 + v_2 = 10 $ (1)

К моменту встречи первый турист прошел расстояние $S_1 = 5v_1$ км, а второй — $S_2 = 5v_2$ км.

После встречи скорость первого туриста стала $v'_1 = v_1 - 1$ км/ч, а второго — $v'_2 = v_2 + 1$ км/ч.

Первому туристу осталось пройти путь $S_2$, а второму — $S_1$.

Время, которое затратил первый турист на оставшийся путь: $t_1 = \frac{S_2}{v'_1} = \frac{5v_2}{v_1 - 1}$.

Время, которое затратил второй турист на оставшийся путь: $t_2 = \frac{S_1}{v'_2} = \frac{5v_1}{v_2 + 1}$.

По условию, первый турист прибыл в пункт B на 2 часа раньше, чем второй в пункт A, значит $t_2 - t_1 = 2$.

Составим второе уравнение:

$ \frac{5v_1}{v_2 + 1} - \frac{5v_2}{v_1 - 1} = 2 $

Получили систему из двух уравнений. Из первого уравнения выразим $v_2 = 10 - v_1$ и подставим во второе:

$ \frac{5v_1}{(10 - v_1) + 1} - \frac{5(10 - v_1)}{v_1 - 1} = 2 $

$ \frac{5v_1}{11 - v_1} - \frac{5(10 - v_1)}{v_1 - 1} = 2 $

Приведем к общему знаменателю:

$ 5v_1(v_1 - 1) - 5(10 - v_1)(11 - v_1) = 2(11 - v_1)(v_1 - 1) $

$ 5v_1^2 - 5v_1 - 5(110 - 21v_1 + v_1^2) = 2(11v_1 - 11 - v_1^2 + v_1) $

$ 5v_1^2 - 5v_1 - 550 + 105v_1 - 5v_1^2 = 24v_1 - 22 - 2v_1^2 $

$ 100v_1 - 550 = 24v_1 - 22 - 2v_1^2 $

$ 2v_1^2 + 76v_1 - 528 = 0 $

$ v_1^2 + 38v_1 - 264 = 0 $

Найдем корни квадратного уравнения. Дискриминант $D = 38^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-264) = 1444 + 1056 = 2500 = 50^2$.

$ v_1 = \frac{-38 \pm 50}{2} $

$ v_{1a} = \frac{-38 + 50}{2} = 6 $.

$ v_{1b} = \frac{-38 - 50}{2} = -44 $. Скорость не может быть отрицательной, поэтому этот корень не подходит.

Итак, первоначальная скорость первого туриста $v_1 = 6$ км/ч.

Тогда скорость второго туриста $v_2 = 10 - v_1 = 10 - 6 = 4$ км/ч.

Ответ: первоначальная скорость первого туриста — 6 км/ч, второго — 4 км/ч.

2) Пусть $T_1$ часов — время, за которое первый рабочий может выполнить все задание, работая один, а $T_2$ часов — время для второго рабочего.

Тогда производительность первого рабочего $p_1 = 1/T_1$ (часть задания в час), а второго — $p_2 = 1/T_2$.

Работая вместе, они выполняют задание за 12 часов. Их общая производительность $p_1 + p_2$.

Составим первое уравнение: $(p_1 + p_2) \cdot 12 = 1$, где 1 — это все задание.

$ p_1 + p_2 = \frac{1}{12} \implies \frac{1}{T_1} + \frac{1}{T_2} = \frac{1}{12} $ (1)

По второму условию, первый рабочий выполняет половину задания (0.5), а затем второй выполняет вторую половину (0.5). Общее время составляет 25 часов.

Время работы первого: $t_1 = \frac{0.5}{p_1} = 0.5 \cdot T_1$.

Время работы второго: $t_2 = \frac{0.5}{p_2} = 0.5 \cdot T_2$.

Составим второе уравнение: $0.5T_1 + 0.5T_2 = 25$.

$ T_1 + T_2 = 50 $ (2)

Получили систему уравнений. Из второго уравнения выразим $T_2 = 50 - T_1$ и подставим в первое:

$ \frac{1}{T_1} + \frac{1}{50 - T_1} = \frac{1}{12} $

Приведем к общему знаменателю:

$ \frac{50 - T_1 + T_1}{T_1(50 - T_1)} = \frac{1}{12} $

$ \frac{50}{50T_1 - T_1^2} = \frac{1}{12} $

$ 12 \cdot 50 = 50T_1 - T_1^2 $

$ 600 = 50T_1 - T_1^2 $

$ T_1^2 - 50T_1 + 600 = 0 $

Найдем корни по теореме Виета: $T_{1a} + T_{1b} = 50$, $T_{1a} \cdot T_{1b} = 600$. Корни равны 20 и 30.

Или через дискриминант: $D = (-50)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 600 = 2500 - 2400 = 100 = 10^2$.

$ T_1 = \frac{50 \pm 10}{2} $

Если $T_1 = \frac{50 + 10}{2} = 30$ часов, то $T_2 = 50 - 30 = 20$ часов.

Если $T_1 = \frac{50 - 10}{2} = 20$ часов, то $T_2 = 50 - 20 = 30$ часов.

В обоих случаях времена выполнения задания для каждого рабочего — 20 и 30 часов.

Ответ: один рабочий выполнит задание за 20 часов, а другой — за 30 часов.

3) Пусть $v_1$ м/с — скорость первой точки, а $v_2$ м/с — скорость второй точки. Пусть $v_1 > v_2$. Длина окружности $L = 60$ м.

Время, за которое первая (быстрая) точка делает полный оборот: $t_1 = \frac{L}{v_1} = \frac{60}{v_1}$ с.

Время, за кое вторая (медленная) точка делает полный оборот: $t_2 = \frac{L}{v_2} = \frac{60}{v_2}$ с.

По условию, первая точка делает оборот на 5 с быстрее второй, значит $t_2 - t_1 = 5$.

Составим первое уравнение:

$ \frac{60}{v_2} - \frac{60}{v_1} = 5 $ (1)

Точки движутся в одном направлении, и быстрая догоняет медленную каждые 60 с. Это означает, что за 60 с быстрая точка проходит на один круг (60 м) больше, чем медленная.

Скорость сближения (или относительная скорость) равна $v_{отн} = v_1 - v_2$.

За время $t_{встр} = 60$ с быстрая точка "нагоняет" расстояние $L = 60$ м.

$ L = v_{отн} \cdot t_{встр} $

$ 60 = (v_1 - v_2) \cdot 60 $

Отсюда получаем второе уравнение:

$ v_1 - v_2 = 1 $ (2)

Получили систему уравнений. Из второго уравнения выразим $v_1 = v_2 + 1$ и подставим в первое уравнение:

$ \frac{60}{v_2} - \frac{60}{v_2 + 1} = 5 $

Разделим обе части уравнения на 5:

$ \frac{12}{v_2} - \frac{12}{v_2 + 1} = 1 $

Приведем к общему знаменателю:

$ \frac{12(v_2 + 1) - 12v_2}{v_2(v_2 + 1)} = 1 $

$ \frac{12v_2 + 12 - 12v_2}{v_2^2 + v_2} = 1 $

$ \frac{12}{v_2^2 + v_2} = 1 $

$ v_2^2 + v_2 = 12 $

$ v_2^2 + v_2 - 12 = 0 $

Найдем корни квадратного уравнения. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 = 7^2$.

$ v_2 = \frac{-1 \pm 7}{2} $

$ v_{2a} = \frac{-1 + 7}{2} = 3 $.

$ v_{2b} = \frac{-1 - 7}{2} = -4 $. Скорость не может быть отрицательной, этот корень не подходит.

Итак, скорость медленной точки $v_2 = 3$ м/с.

Тогда скорость быстрой точки $v_1 = v_2 + 1 = 3 + 1 = 4$ м/с.

Ответ: скорость одной точки — 4 м/с, другой — 3 м/с.