Номер 25, страница 8, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

*25. Постройте график уравнения:

1) $\frac{y - x^2 + 3}{x + 1} = 0;$

2) $\frac{y - x^2 + 4x}{x - 2} = 0;$

3) $\frac{y^2 + x^2 - 25}{x^2 - 1} = 0.$

1)Исходное уравнение $\frac{y - x^2 + 3}{x + 1} = 0$ представляет собой дробь, которая равна нулю. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это приводит нас к системе условий:

$\begin{cases} y - x^2 + 3 = 0 \\ x + 1 \neq 0 \end{cases}$

Из этой системы получаем:

$\begin{cases} y = x^2 - 3 \\ x \neq -1 \end{cases}$

Графиком уравнения $y = x^2 - 3$ является парабола, полученная из параболы $y = x^2$ сдвигом на 3 единицы вниз вдоль оси Oy. Вершина этой параболы находится в точке $(0, -3)$.

Условие $x \neq -1$ означает, что из графика параболы нужно исключить (выколоть) точку, абсцисса которой равна -1. Найдем ординату этой точки, подставив $x = -1$ в уравнение параболы:

$y = (-1)^2 - 3 = 1 - 3 = -2$.

Таким образом, точка с координатами $(-1, -2)$ не принадлежит графику.

Ответ: Графиком уравнения является парабола $y = x^2 - 3$ с вершиной в точке $(0, -3)$, ветви которой направлены вверх, с выколотой точкой $(-1, -2)$.

2)Рассмотрим уравнение $\frac{y - x^2 + 4x}{x - 2} = 0$. По аналогии с предыдущим пунктом, это уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} y - x^2 + 4x = 0 \\ x - 2 \neq 0 \end{cases}$

Упростим систему:

$\begin{cases} y = x^2 - 4x \\ x \neq 2 \end{cases}$

Графиком уравнения $y = x^2 - 4x$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты ее вершины. Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$:

$x_v = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$.

Найдем ординату вершины, подставив $x_v = 2$ в уравнение параболы:

$y_v = 2^2 - 4 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(2, -4)$.

Условие $x \neq 2$ означает, что из графика параболы нужно исключить точку с абсциссой $x = 2$. Как мы выяснили, это и есть вершина параболы.

Ответ: Графиком уравнения является парабола $y = x^2 - 4x$ с выколотой вершиной в точке $(2, -4)$.

3)Рассмотрим уравнение $\frac{y^2 + x^2 - 25}{x^2 - 1} = 0$. Данное уравнение эквивалентно системе:

$\begin{cases} y^2 + x^2 - 25 = 0 \\ x^2 - 1 \neq 0 \end{cases}$

Преобразуем систему:

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ x^2 \neq 1 \end{cases}$

Или, что то же самое:

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 5^2 \\ x \neq 1 \text{ и } x \neq -1 \end{cases}$

Уравнение $x^2 + y^2 = 5^2$ задает окружность с центром в начале координат, точке $(0, 0)$, и радиусом $r=5$.

Условия $x \neq 1$ и $x \neq -1$ означают, что из этой окружности нужно исключить все точки, у которых абсциссы равны 1 или -1. Найдем ординаты этих точек.

При $x = 1$:

$1^2 + y^2 = 25 \implies y^2 = 24 \implies y = \pm\sqrt{24} = \pm 2\sqrt{6}$.

Значит, нужно выколоть точки $(1, 2\sqrt{6})$ и $(1, -2\sqrt{6})$.

При $x = -1$:

$(-1)^2 + y^2 = 25 \implies y^2 = 24 \implies y = \pm\sqrt{24} = \pm 2\sqrt{6}$.

Значит, нужно выколоть точки $(-1, 2\sqrt{6})$ и $(-1, -2\sqrt{6})$.

Ответ: Графиком уравнения является окружность с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом 5, из которой выколоты четыре точки: $(1, 2\sqrt{6})$, $(1, -2\sqrt{6})$, $(-1, 2\sqrt{6})$ и $(-1, -2\sqrt{6})$.