Номер 30, страница 9, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

30. На рисунке 4 изображен график квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$. $D = b^2 - 4ac$. Найдите знаки чисел $a, b, c$ и $D$:

1)

2)

Рис. 4

1) Для определения знаков чисел $a, b, c$ и $D$ проанализируем график квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$.

1. Знак коэффициента $a$: ветви параболы направлены вниз, это означает, что старший коэффициент $a$ отрицателен: $a < 0$.

2. Знак коэффициента $c$: график пересекает ось $y$ в точке, ордината которой отрицательна (ниже начала координат). Значение функции при $x=0$ равно $c$, следовательно, $c < 0$.

3. Знак коэффициента $b$: абсцисса вершины параболы находится по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Из графика видно, что вершина параболы находится в левой полуплоскости, то есть $x_0 < 0$. Так как $a < 0$, получаем неравенство: $-\frac{b}{2a} < 0$, что эквивалентно $\frac{b}{2a} > 0$. Поскольку знаменатель $2a$ отрицателен, для того чтобы дробь была положительной, числитель $b$ также должен быть отрицательным: $b < 0$.

4. Знак дискриминанта $D$: парабола пересекает ось $x$ в двух различных точках. Это значит, что квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ имеет два различных действительных корня, следовательно, дискриминант $D = b^2 - 4ac$ положителен: $D > 0$.

Ответ: $a < 0, b < 0, c < 0, D > 0$.

2) Проведем аналогичный анализ для второго графика.

1. Знак коэффициента $a$: ветви параболы направлены вниз, следовательно, $a < 0$.

2. Знак коэффициента $c$: парабола пересекает ось $y$ в точке с отрицательной ординатой. Следовательно, $c = y(0) < 0$.

3. Знак коэффициента $b$: вершина параболы лежит на оси $y$. Это означает, что абсцисса вершины $x_0 = 0$. Из формулы $x_0 = -\frac{b}{2a}$ следует, что $-\frac{b}{2a} = 0$. Так как $a \neq 0$, это равенство выполняется только при $b = 0$.

4. Знак дискриминанта $D$: парабола не имеет точек пересечения с осью $x$ (полностью расположена под ней). Это значит, что квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ не имеет действительных корней, и, следовательно, дискриминант $D$ отрицателен: $D < 0$. Проверим это: $D = b^2 - 4ac = 0^2 - 4ac = -4ac$. Поскольку $a < 0$ и $c < 0$, их произведение $ac > 0$. Тогда $-4ac < 0$, что подтверждает наш вывод.

Ответ: $a < 0, b = 0, c < 0, D < 0$.