Номер 36, страница 10, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

36. Вычислите $q$, $b_n$ и $S_n$ геометрической прогрессии, если:

1) $b_1 = 0.7$; $b_3 = 2.8$; $n = 6$;

2) $b_1 = 0.6$; $b_2 = 1.8$; $n = 5$;

3) $b_1 = -0.2$; $b_2 = 1.4$; $n = 4$;

1) Дано: $b_1 = 0,7$; $b_3 = 2,8$; $n = 6$.

Для нахождения знаменателя геометрической прогрессии $q$ воспользуемся формулой n-го члена: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Для $n=3$ имеем: $b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1 \cdot q^2$.

Подставим известные значения:

$2,8 = 0,7 \cdot q^2$

$q^2 = \frac{2,8}{0,7} = 4$

Это уравнение имеет два возможных решения для $q$: $q = 2$ и $q = -2$. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $q = 2$

Вычислим шестой член прогрессии ($b_6$):

$b_6 = b_1 \cdot q^{6-1} = 0,7 \cdot 2^5 = 0,7 \cdot 32 = 22,4$.

Вычислим сумму первых шести членов ($S_6$) по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$:

$S_6 = \frac{0,7(2^6 - 1)}{2 - 1} = \frac{0,7(64 - 1)}{1} = 0,7 \cdot 63 = 44,1$.

Случай 2: $q = -2$

Вычислим шестой член прогрессии ($b_6$):

$b_6 = b_1 \cdot q^{6-1} = 0,7 \cdot (-2)^5 = 0,7 \cdot (-32) = -22,4$.

Вычислим сумму первых шести членов ($S_6$):

$S_6 = \frac{0,7((-2)^6 - 1)}{-2 - 1} = \frac{0,7(64 - 1)}{-3} = \frac{0,7 \cdot 63}{-3} = \frac{44,1}{-3} = -14,7$.

Ответ: задача имеет два решения: 1) $q = 2, b_6 = 22,4, S_6 = 44,1$; 2) $q = -2, b_6 = -22,4, S_6 = -14,7$.

2) Дано: $b_1 = 0,6$; $b_2 = 1,8$; $n = 5$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$ из соотношения $b_2 = b_1 \cdot q$.

$1,8 = 0,6 \cdot q$

$q = \frac{1,8}{0,6} = 3$.

Теперь вычислим пятый член прогрессии ($b_5$) по формуле $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$:

$b_5 = 0,6 \cdot 3^{5-1} = 0,6 \cdot 3^4 = 0,6 \cdot 81 = 48,6$.

Вычислим сумму первых пяти членов ($S_5$) по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$:

$S_5 = \frac{0,6(3^5 - 1)}{3 - 1} = \frac{0,6(243 - 1)}{2} = \frac{0,6 \cdot 242}{2} = 0,3 \cdot 242 = 72,6$.

Ответ: $q = 3, b_5 = 48,6, S_5 = 72,6$.

3) Дано: $b_1 = -0,2$; $b_2 = 1,4$; $n = 4$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$ из соотношения $b_2 = b_1 \cdot q$.

$1,4 = -0,2 \cdot q$

$q = \frac{1,4}{-0,2} = -7$.

Теперь вычислим четвертый член прогрессии ($b_4$) по формуле $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$:

$b_4 = -0,2 \cdot (-7)^{4-1} = -0,2 \cdot (-7)^3 = -0,2 \cdot (-343) = 68,6$.

Вычислим сумму первых четырех членов ($S_4$) по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$:

$S_4 = \frac{-0,2((-7)^4 - 1)}{-7 - 1} = \frac{-0,2(2401 - 1)}{-8} = \frac{-0,2 \cdot 2400}{-8} = \frac{-480}{-8} = 60$.

Ответ: $q = -7, b_4 = 68,6, S_4 = 60$.