Номер 37, страница 10, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

37. Найдите $b_1$ и $S_5$ геометрической прогрессии, если:

1) $b_3 = \frac{9}{8}; q = -\frac{3}{4};$

2) $b_5 = -16; q = \frac{2}{3};$

3) $b_4 = 12,5; q = -\frac{5}{6}.$

1) Дано: $b_3 = \frac{9}{8}$, $q = -\frac{3}{4}$.

Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Сначала найдем первый член прогрессии $b_1$. Для $n=3$ формула выглядит так:

$b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1 \cdot q^2$

Отсюда можно выразить $b_1$:

$b_1 = \frac{b_3}{q^2}$

Теперь подставим известные значения $b_3$ и $q$:

$b_1 = \frac{\frac{9}{8}}{(-\frac{3}{4})^2} = \frac{\frac{9}{8}}{\frac{9}{16}} = \frac{9}{8} \cdot \frac{16}{9} = \frac{16}{8} = 2$.

Далее найдем сумму первых пяти членов прогрессии, $S_5$. Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии:

$S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$

Подставим $n=5$, $b_1=2$ и $q = -\frac{3}{4}$:

$S_5 = \frac{2(1-(-\frac{3}{4})^5)}{1-(-\frac{3}{4})}$

Вычислим степень $q^5$:

$(-\frac{3}{4})^5 = -\frac{3^5}{4^5} = -\frac{243}{1024}$

Подставим это значение обратно в формулу суммы:

$S_5 = \frac{2(1-(-\frac{243}{1024}))}{1+\frac{3}{4}} = \frac{2(1+\frac{243}{1024})}{\frac{4}{4}+\frac{3}{4}} = \frac{2(\frac{1024+243}{1024})}{\frac{7}{4}} = \frac{2 \cdot \frac{1267}{1024}}{\frac{7}{4}}$

Для вычисления выполним деление дробей:

$S_5 = 2 \cdot \frac{1267}{1024} \cdot \frac{4}{7} = \frac{2 \cdot 1267 \cdot 4}{1024 \cdot 7} = \frac{8 \cdot 1267}{1024 \cdot 7}$

Сократим дробь на 8:

$S_5 = \frac{1267}{128 \cdot 7}$

Проверим, делится ли 1267 на 7: $1267 \div 7 = 181$.

$S_5 = \frac{181 \cdot 7}{128 \cdot 7} = \frac{181}{128}$.

Ответ: $b_1=2$, $S_5=\frac{181}{128}$.

2) Дано: $b_5 = -16$, $q = \frac{2}{3}$.

Найдем первый член прогрессии $b_1$ из формулы $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ при $n=5$:

$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4$

$b_1 = \frac{b_5}{q^4}$

Подставим известные значения:

$b_1 = \frac{-16}{(\frac{2}{3})^4} = \frac{-16}{\frac{16}{81}} = -16 \cdot \frac{81}{16} = -81$.

Теперь найдем сумму первых пяти членов $S_5$ по формуле $S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$:

$S_5 = \frac{-81(1-(\frac{2}{3})^5)}{1-\frac{2}{3}}$

Вычислим $q^5$:

$(\frac{2}{3})^5 = \frac{2^5}{3^5} = \frac{32}{243}$

Подставим в формулу суммы:

$S_5 = \frac{-81(1-\frac{32}{243})}{1-\frac{2}{3}} = \frac{-81(\frac{243-32}{243})}{\frac{1}{3}} = \frac{-81 \cdot \frac{211}{243}}{\frac{1}{3}}$

Выполним вычисления:

$S_5 = -81 \cdot \frac{211}{243} \cdot 3 = -81 \cdot \frac{211}{81} = -211$.

Ответ: $b_1=-81$, $S_5=-211$.

3) Дано: $b_4 = 12,5$, $q = -\frac{5}{6}$.

Для удобства вычислений представим $12,5$ в виде обыкновенной дроби: $12,5 = \frac{25}{2}$.

Найдем первый член прогрессии $b_1$ из формулы $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ при $n=4$:

$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3$

$b_1 = \frac{b_4}{q^3}$

Подставим известные значения:

$b_1 = \frac{\frac{25}{2}}{(-\frac{5}{6})^3} = \frac{\frac{25}{2}}{-\frac{125}{216}} = -\frac{25}{2} \cdot \frac{216}{125} = -\frac{25 \cdot 216}{2 \cdot 125}$

Сократим дробь:

$b_1 = -\frac{1 \cdot 108}{1 \cdot 5} = -\frac{108}{5}$.

Найдем сумму первых пяти членов $S_5$ по формуле $S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$:

$S_5 = \frac{-\frac{108}{5}(1-(-\frac{5}{6})^5)}{1-(-\frac{5}{6})}$

Вычислим $q^5$:

$(-\frac{5}{6})^5 = -\frac{5^5}{6^5} = -\frac{3125}{7776}$

Подставим в формулу суммы:

$S_5 = \frac{-\frac{108}{5}(1-(-\frac{3125}{7776}))}{1+\frac{5}{6}} = \frac{-\frac{108}{5}(1+\frac{3125}{7776})}{\frac{11}{6}} = \frac{-\frac{108}{5} \cdot \frac{7776+3125}{7776}}{\frac{11}{6}} = \frac{-\frac{108}{5} \cdot \frac{10901}{7776}}{\frac{11}{6}}$

Выполним вычисления:

$S_5 = -\frac{108}{5} \cdot \frac{10901}{7776} \cdot \frac{6}{11} = -\frac{108 \cdot 10901 \cdot 6}{5 \cdot 7776 \cdot 11}$

Сократим выражение, зная, что $7776 = 12 \cdot 6 \cdot 108$:

$S_5 = -\frac{108 \cdot 10901 \cdot 6}{5 \cdot (12 \cdot 6 \cdot 108) \cdot 11} = -\frac{10901}{5 \cdot 12 \cdot 11} = -\frac{10901}{660}$

Проверим, делится ли 10901 на 11: $10901 \div 11 = 991$.

$S_5 = -\frac{991 \cdot 11}{60 \cdot 11} = -\frac{991}{60}$.

Ответ: $b_1=-\frac{108}{5}$, $S_5=-\frac{991}{60}$.