Номер 44, страница 11, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

44. Найдите $\cos(\alpha + \beta)$, $\sin(\alpha - \beta)$, $\operatorname{tg}(\alpha + \beta)$, если $\cos\alpha = \frac{\sqrt{15}}{4}$, $\sin\beta = \frac{1}{8}$ и $\alpha, \beta \in \text{I четверти}.

Поскольку углы $ \alpha $ и $ \beta $ принадлежат I четверти, их синусы, косинусы и тангенсы являются положительными величинами. Для решения задачи нам понадобятся значения $ \sin\alpha $ и $ \cos\beta $. Найдем их, используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2x + \cos^2x = 1 $.

1. Найдем $ \sin\alpha $.

Известно, что $ \cos\alpha = \frac{\sqrt{15}}{4} $.

$ \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \left(\frac{\sqrt{15}}{4}\right)^2 = 1 - \frac{15}{16} = \frac{16-15}{16} = \frac{1}{16} $.

Так как $ \alpha $ в I четверти, $ \sin\alpha > 0 $, поэтому $ \sin\alpha = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4} $.

2. Найдем $ \cos\beta $.

Известно, что $ \sin\beta = \frac{1}{8} $.

$ \cos^2\beta = 1 - \sin^2\beta = 1 - \left(\frac{1}{8}\right)^2 = 1 - \frac{1}{64} = \frac{64-1}{64} = \frac{63}{64} $.

Так как $ \beta $ в I четверти, $ \cos\beta > 0 $, поэтому $ \cos\beta = \sqrt{\frac{63}{64}} = \frac{\sqrt{9 \cdot 7}}{8} = \frac{3\sqrt{7}}{8} $.

Теперь, имея все необходимые значения, можем вычислить требуемые выражения.

$ \cos(\alpha + \beta) $

Используем формулу косинуса суммы: $ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta $.

Подставляем найденные значения:

$ \cos(\alpha + \beta) = \frac{\sqrt{15}}{4} \cdot \frac{3\sqrt{7}}{8} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{8} = \frac{3\sqrt{15 \cdot 7}}{32} - \frac{1}{32} = \frac{3\sqrt{105} - 1}{32} $.

Ответ: $ \frac{3\sqrt{105} - 1}{32} $

$ \sin(\alpha - \beta) $

Используем формулу синуса разности: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta $.

Подставляем найденные значения:

$ \sin(\alpha - \beta) = \frac{1}{4} \cdot \frac{3\sqrt{7}}{8} - \frac{\sqrt{15}}{4} \cdot \frac{1}{8} = \frac{3\sqrt{7}}{32} - \frac{\sqrt{15}}{32} = \frac{3\sqrt{7} - \sqrt{15}}{32} $.

Ответ: $ \frac{3\sqrt{7} - \sqrt{15}}{32} $

$ \tg(\alpha + \beta) $

Используем формулу $ \tg(\alpha + \beta) = \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)} $.

Мы уже нашли $ \cos(\alpha + \beta) = \frac{3\sqrt{105} - 1}{32} $.

Найдем $ \sin(\alpha + \beta) $ по формуле синуса суммы: $ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta $.

$ \sin(\alpha + \beta) = \frac{1}{4} \cdot \frac{3\sqrt{7}}{8} + \frac{\sqrt{15}}{4} \cdot \frac{1}{8} = \frac{3\sqrt{7} + \sqrt{15}}{32} $.

Теперь вычислим тангенс:

$ \tg(\alpha + \beta) = \frac{\frac{3\sqrt{7} + \sqrt{15}}{32}}{\frac{3\sqrt{105} - 1}{32}} = \frac{3\sqrt{7} + \sqrt{15}}{3\sqrt{105} - 1} $.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $ (3\sqrt{105} + 1) $:

$ \tg(\alpha + \beta) = \frac{(3\sqrt{7} + \sqrt{15})(3\sqrt{105} + 1)}{(3\sqrt{105} - 1)(3\sqrt{105} + 1)} = \frac{9\sqrt{7 \cdot 105} + 3\sqrt{7} + 3\sqrt{15 \cdot 105} + \sqrt{15}}{(3\sqrt{105})^2 - 1^2} $.

Раскроем скобки в числителе:

$ 9\sqrt{735} + 3\sqrt{7} + 3\sqrt{1575} + \sqrt{15} = 9\sqrt{49 \cdot 15} + 3\sqrt{7} + 3\sqrt{225 \cdot 7} + \sqrt{15} = 9 \cdot 7\sqrt{15} + 3\sqrt{7} + 3 \cdot 15\sqrt{7} + \sqrt{15} = 63\sqrt{15} + 3\sqrt{7} + 45\sqrt{7} + \sqrt{15} = 64\sqrt{15} + 48\sqrt{7} $.

Знаменатель равен: $ 9 \cdot 105 - 1 = 945 - 1 = 944 $.

$ \tg(\alpha + \beta) = \frac{64\sqrt{15} + 48\sqrt{7}}{944} $.

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 16:

$ \tg(\alpha + \beta) = \frac{16(4\sqrt{15} + 3\sqrt{7})}{16 \cdot 59} = \frac{4\sqrt{15} + 3\sqrt{7}}{59} $.

Ответ: $ \frac{4\sqrt{15} + 3\sqrt{7}}{59} $