Номер 48, страница 12, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

48. Докажите, что значение выражения равно 2 при любом допустимом $\alpha$:

1) $2\tan\alpha \cdot \cot(\pi + \alpha) - 2\sin(-\alpha) \cdot \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) + \cos(360^\circ - 2\alpha) \cdot \cot(\frac{\pi}{2} - 2\alpha) - 2\cos(2\alpha - \frac{\pi}{2});$

2) $2 \cdot (0,5 - 0,5\cos4\alpha + \frac{1}{1 + \tan^2 2\alpha}) - (1-\sin^2 2\alpha) \cdot \frac{1}{\cos^2 2\alpha} + \cot3\alpha \cdot \cot(90^\circ - 3\alpha).$

1) Упростим выражение, последовательно преобразуя каждый его член с помощью формул приведения и основных тригонометрических тождеств.

Первый член: $2\operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{ctg}(\pi + \alpha)$. Используя формулу приведения $\operatorname{ctg}(\pi + \alpha) = \operatorname{ctg}\alpha$, получаем $2\operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{ctg}\alpha = 2$, так как $\operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{ctg}\alpha = 1$.

Второй член: $-2\sin(-\alpha) \cdot \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$. Используя нечетность синуса $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$ и формулу приведения $\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos\alpha$, получаем $-2(-\sin\alpha)\cos\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$. По формуле синуса двойного угла это равно $\sin(2\alpha)$.

Третий член: $\cos(360^\circ - 2\alpha) \cdot \operatorname{ctg}(\frac{\pi}{2} - 2\alpha)$. Используя четность косинуса $\cos(360^\circ - 2\alpha) = \cos(2\alpha)$ и формулу приведения $\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{2} - 2\alpha) = \operatorname{tg}(2\alpha)$, получаем $\cos(2\alpha) \cdot \operatorname{tg}(2\alpha) = \cos(2\alpha) \cdot \frac{\sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)} = \sin(2\alpha)$.

Четвертый член: $-2\cos(2\alpha - \frac{\pi}{2})$. Используя четность косинуса и формулу приведения, имеем $-2\cos(-(\frac{\pi}{2} - 2\alpha)) = -2\cos(\frac{\pi}{2} - 2\alpha) = -2\sin(2\alpha)$.

Теперь сложим все полученные результаты: $2 + \sin(2\alpha) + \sin(2\alpha) - 2\sin(2\alpha) = 2 + 2\sin(2\alpha) - 2\sin(2\alpha) = 2$.

Таким образом, значение выражения равно 2 при любом допустимом значении $\alpha$.

Ответ: 2.

2) Упростим выражение, разбирая его по частям.

Рассмотрим первую часть: $2 \cdot (0,5 - 0,5\cos(4\alpha) + \frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2(2\alpha)})$. Преобразуем выражение в скобках.

Первое слагаемое в скобках: $0,5 - 0,5\cos(4\alpha) = 0,5(1 - \cos(4\alpha))$. По формуле понижения степени $1 - \cos(2x) = 2\sin^2x$, получаем $0,5 \cdot (2\sin^2(2\alpha)) = \sin^2(2\alpha)$.

Второе слагаемое в скобках: $\frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2(2\alpha)}$. По тождеству $1 + \operatorname{tg}^2x = \frac{1}{\cos^2x}$, получаем $\frac{1}{1/\cos^2(2\alpha)} = \cos^2(2\alpha)$.

Сумма в скобках равна $\sin^2(2\alpha) + \cos^2(2\alpha) = 1$. Таким образом, вся первая часть выражения равна $2 \cdot 1 = 2$.

Рассмотрим вторую часть: $-(1 - \sin^2(2\alpha)) \cdot \frac{1}{\cos^2(2\alpha)}$. По основному тригонометрическому тождеству $1 - \sin^2(2\alpha) = \cos^2(2\alpha)$. Тогда выражение равно $-\cos^2(2\alpha) \cdot \frac{1}{\cos^2(2\alpha)} = -1$.

Рассмотрим третью часть: $+\operatorname{ctg}(3\alpha) \cdot \operatorname{ctg}(90^\circ - 3\alpha)$. По формуле приведения $\operatorname{ctg}(90^\circ - x) = \operatorname{tg}x$, выражение становится равным $\operatorname{ctg}(3\alpha) \cdot \operatorname{tg}(3\alpha) = 1$.

Соберем все части вместе: $2 - 1 + 1 = 2$.

Таким образом, значение выражения равно 2 при любом допустимом значении $\alpha$.

Ответ: 2.